Integration mit Substitution

24.11.2012, 20:57

Der Ehrgeizige

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Integration mit Substitution

Meine Frage:
Guten Abend an alle. Meine für beliebiges y>0 zu berechnenden Integrale lauten:

a) $\begin{eqnarray*} \int_0^y \! \frac{1}{x+1} \, dx \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \int_0^y \! \frac{2x+2}{x^{2}+2x+5} \, dx \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \int_0^y \! \frac{1}{x^{2}+2x+5} \, dx \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \int_0^y \! \frac{x^{2}+x-2}{x^{3}+3x^{2}+7x+5} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also darf ich mir jetzt eine beliebige obere Grenze >0 wählen ? Für a) also:

$\begin{eqnarray*} \int_0^y \! \frac{1}{x+1} \, dx =\int_0^1 \! \frac{1}{z} \, dz=ln(z)|_0^1=ln(1)-ln(0)=0 \end{eqnarray*}$

24.11.2012, 21:14

Der Ehrgeizige

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Korriege meinen ersten Beitrag:

z(x)=x+1 z'(x)=1 dz=dx

Neue Grenzen sind 1 und 2

$\begin{eqnarray*} \int_0^y \! \frac{1}{x+1} \, dx =\int_1^2 \! \frac{1}{z} \, dz=ln(z)|_1^2=ln(2)-ln(1)=ln(2) \end{eqnarray*}$

24.11.2012, 21:35

Helferlein

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Beliebiges y heisst nicht, dass Du dir eins aussuchen darfst, sondern das eine Formel herauskommen muss, die von y abhängt.

24.11.2012, 22:04

Der Ehrgeizige

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Also war mein erster Gedanke doch richtig. Also:
Für a)

z(x)=x+1 z'(x)=1 dz=dx

Grenzen werden zu 1 und y+1

$\begin{eqnarray*} \int_o^y \! \frac{1}{x+1} \, dx=\int_1^{y+1} \! \frac{1}{z} \, dz=ln(z)|_1^{y+1}=ln(y+1)-ln(1)=ln(y+1) \end{eqnarray*}$

Für c) da dann nach gleichen Verfahren:

z'(x)=2x+x $\begin{eqnarray*} dx=\frac{dz}{2x+2} \end{eqnarray*}$ Grenzen werden (siehe Integral)

$\begin{eqnarray*} \int_o^y \! \frac{1}{x^{2}+2x+5} \, dx=\int_5^{y^{2}+2y+5} \! \frac{1}{z} \, \frac{dz}{2x+2} \end{eqnarray*}$

Aber nun bin ich ratlos. Man muss ja das x raushauen bzw. irgendwie durch z ersetzen.

24.11.2012, 22:30

Helferlein

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a) ist richtig

bei c) musst Du eine andere Substitution wählen.
Vom Prinzip her müsstest Du ausnahmslos jedes x durch z ersetzen. Wenn Du also $\begin{eqnarray*} z=x²+2x+2 \end{eqnarray*}$ setzt, ist $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{z-1}-1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} dx=\frac 1{2\sqrt{z-1}}dz \end{eqnarray*}$ . Das Integral wird dadurch aber nicht einfacher. Wähle also eine bessere Substitution.

24.11.2012, 22:30

Der Ehrgeizige

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Kann es sein, dass ich nochmal substituieren muss ? Wie würde das denn aussehen und was wäre dann mit dem anderen Teil des Integrals Im Zähler haben wir ein Polynom 2. Grades stehen... leider kann ich es auch nicht umformen auf eine Form (x-1) Nullstelle ist bei -1
(x+1)^2 +4 wäre ja das gleiche aber naja ?

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24.11.2012, 23:09

Der Ehrgeizige

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Ehrlich gesagt fällt mir keine geeignete Substitution ein...

24.11.2012, 23:20

Helferlein

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Denk mal daran, dass x²+2x+2=(x+1)²+1

25.11.2012, 00:00

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Kann es sein, dass ich nochmal substituieren muss ? Wie würde das denn aussehen und was wäre dann mit dem anderen Teil des Integrals Im Zähler haben wir ein Polynom 2. Grades stehen... leider kann ich es auch nicht umformen auf eine Form (x-1) Nullstelle ist bei -1
(x+1)^2 +4 wäre ja das gleiche aber naja ?

(x+1)^2+1 ist ungleich (x+1)^2+5 trotzdem habe ich keinen blassen Schimmer wie ich mir das ausnutzen soll

25.11.2012, 00:03

Helferlein

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Mein Fehler: Hab eine 2 am Ende im Kopf gehabt, was aber nicht viel an der Darstellung ändert : $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac 1{(x+1)²+4} \end{eqnarray*}$ und nun schau Dir mal die Ableitung des arctan an.

25.11.2012, 00:15

Der Ehrgeizige

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Die Idee hatte ich also auch und nun? Übrigens ich sehe die Ableitung des arctan x zum ersten mal bzw. weiß das es diese ist...

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}arctan x=\frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$

Den Sinn sehe ich leider noch nicht danach zu greifen.

25.11.2012, 01:12

Helferlein

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Was hältst Du von x+1=2z?

25.11.2012, 09:11

Der Ehrgeizige

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2z=x+1

also z=0,5(x+1)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2}+2x+5}=\frac{1}{(x+1)^{2}+4}=\int_0^y \! \frac{1}{(2z)^{2}+4} \, dz=\frac{1}{4z^{2}+4} \, dz=\frac{1}{4(z^{2}+1)} \, dz \end{eqnarray*}$

Und ich bleibe erneut hängen...(die Integralzeichen fehlen noch)

25.11.2012, 10:09

Helferlein

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Schon vergessen, was die Ableitung vom arctan ist?
Das sieht doch schon sehr ähnlich aus.

25.11.2012, 11:43

Der Ehrgeizige

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Nein natürlich nicht. Nur taucht die Ableitung des arctan x ähnlich auf und nicht gleich und ich nicht weiß wie ich sie gleich machen sollen, wenn dort noch ein +4 und ein Quadrat ist
Ich mein die 4 kann man ausklammern aber das ist dann trotzdem noch abhängig davon...

25.11.2012, 12:03

Der Ehrgeizige

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$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}=arctan=\frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$

Ich sitze nun echt Stundenlang davor und es ist mir einfach unschlüssig wie ich das da hineinpuzzlen soll verwirrt

verwirrt

25.11.2012, 13:16

Helferlein

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Wir halten fest: Du suchst

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{4(z^{2}+1)} \, dz = \int\frac 14 \cdot \frac 1{(z^{2}+1)} \, dz \end{eqnarray*}$

Und Du weisst, dass $\begin{eqnarray*} \int \frac1{1+x²}=arctan(x) \end{eqnarray*}$

Das einzige, was noch stört ist das $\begin{eqnarray*} \frac14 \end{eqnarray*}$ . Wie kriegst Du das "aus dem Integral" raus?

25.11.2012, 15:06

Der Ehrgeizige

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Hammer

ouh man bin ich ein Horst... sorry...

$\begin{eqnarray*} 0,25\int_o^y \! \frac{1}{1+z^{2}} \, dz=0,25arctan(z)|_{\frac{1}{2} }^{\frac{y}{2}+\frac{1}{2} }=0,25arctan(\frac{y}{2}+\frac{1}{2})-0,25arctan(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Nun somit wäre die c) durch? Nun zur b)

$\begin{eqnarray*} \int_o^y \! \frac{2x+2}{x^{2}+2x+5} \, dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\int_o^y \! \frac{2(x+1)}{(x+1)^{2}+4} \, dx=\int_o^y \! \frac{2}{x+5} \, dx= \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_o^y \! \frac{1}{x+5} \, dx \end{eqnarray*}$

Ist das alles in Ordnung ?

25.11.2012, 15:31

Der Ehrgeizige

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Statt der 0,25 muss überall eine 4 stehen, richtig ?

25.11.2012, 15:34

Helferlein

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Nicht wirklich.
Die beiden letzten Schritte sind nicht nachvollziehbar. Was hast Du substituiert?

25.11.2012, 15:41

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von Helferlein
Nicht wirklich.
Die beiden letzten Schritte sind nicht nachvollziehbar. Was hast Du substituiert?

Öhm wo denn jetzt ?
Die c) ist korrekt ? (die obere Aufgabe)

und die b) da habe ich noch nichts substituiert habe es nur umgeformt aber das kann man doch so machen ? (da fehlt auch die 0,5 vor dem Integral hab's herausgezogen)

25.11.2012, 15:58

Helferlein

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c ist korrekt,aber was Du bei b gemacht hast sieht katastrophal falsch aus.
Kannst Du die beiden letzten Schritte mal erklären?
Wo ist das Quadrat hin und wieso verschwindet das x im Zähler?

25.11.2012, 18:18

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von Helferlein
c ist korrekt,aber was Du bei b gemacht hast sieht katastrophal falsch aus.
Kannst Du die beiden letzten Schritte mal erklären?
Wo ist das Quadrat hin und wieso verschwindet das x im Zähler?

$\begin{eqnarray*} \int_o^y \! \frac{2x+2}{x^{2}+2x+5} \, dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\int_o^y \! \frac{2(x+1)}{(x+1)^{2}+4} \, dx \end{eqnarray*}$

Vergessen wir die Schritte davor habe da kraut und rüben gerechnet und "verbotene" Sachen gemacht. Wie substituiere ich hier sinnvoll mit? z=x+1 ? Dann habe ich stehen

$\begin{eqnarray*} =\int_o^y \! \frac{2z}{z^{2}+4} \, dx \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 19:49

Der Ehrgeizige

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Dann könnte man noch die 2 vor das Integral schreiben aber was dann ?

25.11.2012, 20:24

Der Ehrgeizige

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$\begin{eqnarray*} 2\int_0^y \! \frac{z}{z^{2}+4} \, dz \end{eqnarray*}$ und nu verwirrt

verwirrt

25.11.2012, 20:28

Helferlein

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z=x+1 ist nicht ganz die richtige Wahl, aber nahe dran. Versuchs mal mit z=(x+1)².

25.11.2012, 21:56

Der Ehrgeizige

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$\begin{eqnarray*} z(x)=(x+1)^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z'(x)=2(x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx= \frac{dz}{2x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^y \! \frac{2x+2}{x^{2}+2x+5} \, dx=\int_0^y \! \frac{2(x+1)}{(x+1)^{2}+4} \, dx=\int_0^y \! \frac{2x+2}{x^{2}+2x+5} \, dx=\int_0^y \! \frac{2x+2}{z+4}\frac{dz}{2x+2} \, =\int_0^y \! \frac{1}{z+4} \, dz \end{eqnarray*}$

All right ? und wie leite ich das auf ?

25.11.2012, 22:03

Helferlein

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Also langsam frage ich mich echt, ob Du überhaupt eine Stammfunktion irgendeiner Funktion kennst. Alles werde ich Dir nicht vorkauen. Schau notfalls in eine Formelsammlung, wie man $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac 1x \end{eqnarray*}$ integriert.

btw: Die Grenzen hast Du noch nicht angepasst.

25.11.2012, 22:10

Der Ehrgeizige

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$\begin{eqnarray*} 0 --> 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y --> (y+1)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^{(y+1)^{2}} \! \frac{1}{z+4} \, dz=ln(z+4)|_1^{(y+1)^{2}}=ln(y^{2}+2y+5)-ln(5) \end{eqnarray*}$

Freude

Freude

?

25.11.2012, 22:44

Helferlein

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Geht doch, muss ich denn immer erst böse

böse

?

Big Laugh

25.11.2012, 22:54

Der Ehrgeizige

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Gott

sorry das +4 hat mir die Augen verdeckt Hammer

Hammer

vielen Dank nun last but not least

d) mit

$\begin{eqnarray*} \int_0^y \! \frac{x^{2}+x+2}{x^{3}+3x^{2}+7x+5} \, dx \end{eqnarray*}$

Nun meine Ideen sind folgende ich könnte den Bruch auseinanderziehen, was aber wenig Sinn macht. Ausklammern hilft da vielleicht schon eher

Die Nullstellen vom Zähler sind 1 und -2 nach PQ-Formel. Die des Nenner's sind -1 und den Rest bin ich gerade am herausbekommen.

25.11.2012, 23:21

Helferlein

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Das ist die kniffligste der Aufgaben.
Such dir eine Nullstelle des Nenners und wende erst Polynomdivision und dann Partialbruchzerlegung an.

25.11.2012, 23:45

Der Ehrgeizige

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$\begin{eqnarray*} x^{2}+4x+11+\frac{16}{x-1} \end{eqnarray*}$

kann man dann einfach PQ Formel anwenden trotz Rest ??? Ist auf jeden Fall richtig.

PQ Formel bringt uns dann eine weitere Nullstelle nämlich -2

Aber wie ich die Partialbruchzerlegung hier mache geschockt

geschockt

26.11.2012, 01:16

Helferlein

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Hab mich vielleicht etwas undeutlich ausgedrückt: Du sollst zuerst einen Linearfaktor des Nenners abspalten, wozu Du als erstes eine Lösung raten musst.

(1) Wann gilt $\begin{eqnarray*} x^3+3x^2+7x+5=0 ? \end{eqnarray*}$

Die Lösung sei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

(2) Was ist $\begin{eqnarray*} (x^3+3x^2+7x+5) : (x-x_0) ? \end{eqnarray*}$

26.11.2012, 02:06

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von Helferlein
Hab mich vielleicht etwas undeutlich ausgedrückt: Du sollst zuerst einen Linearfaktor des Nenners abspalten, wozu Du als erstes eine Lösung raten musst.

(1) Wann gilt $\begin{eqnarray*} x^3+3x^2+7x+5=0 ? \end{eqnarray*}$

Die Lösung sei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

(2) Was ist $\begin{eqnarray*} (x^3+3x^2+7x+5) : (x-x_0) ? \end{eqnarray*}$

(1) gilt für x=-1 und

(2) für geteilt durch (x-1) daraus folgt $\begin{eqnarray*} x^{2}+4x+11+\frac{16}{x-1} \end{eqnarray*}$ (nach Polynomdivision) nach Ausführung der PQ Formel erhalten wir eine weitere Nullstelle, nämlich -2. Die Nullstellen sind somit -1 und -2.

Partialbruchzerlegung: Da geht es darum, dass man die Rechnung mit Funktionen erleichtert. Sie bei der Integration der rationalen Funktionen zur vor. (siehe unser Bsp)

26.11.2012, 06:33

Helferlein

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Du musst durch x+1 teilen, nicht x-1

26.11.2012, 08:14

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von Helferlein
Du musst durch x+1 teilen, nicht x-1

Aber für x=1 eingesetzt wird doch die Gleichung nicht Null

16=0

kommt bei eingesetzten 1 heraus.

Naja das ist mir irgendwie gerade unschlüssig traurig

traurig

Die Nullstelle ist ja -1. Bei -1 wird die Gleichung Null. Aber habe dies jetzt für x+1 berechnet und es kommt heraus:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+2x+5 \end{eqnarray*}$

PQ Formel liefert dann einzige Nullstelle -1. verwirrt

verwirrt

Heißt das, dass man den Nenner einfach zu (x+1)(x+1) umschreiben kann?

26.11.2012, 09:12

Der Ehrgeizige

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Im Zähler haben wir ja die Nullstellen 1 & -2 das könnte man dann zu (x-1)(x+2) umschreiben ???

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)\cdot(x+2) }{(x+1)\cdot(x+1) } \end{eqnarray*}$

bringt uns aber auch nicht weiter, soweit man das überhaupt darf.

26.11.2012, 11:11

Der Ehrgeizige

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Ou verdammt ich hab den Hinweis auf der Rückseite übersehen.

Der lautet wie folgt: Erinnern Sie sich in c) an die Ableitung des Arcustangens. (JA!). Bestimmen Sie in d) die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} A,B,C \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+x-2}{x^{3}+3x^{2}+7x+5}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+5} \end{eqnarray*}$

wenn wir also A=B=C=1 machen haben wir stehen $\begin{eqnarray*} =\frac{1}{x+1}+\frac{x+1}{(x+1)^{2}+4} \end{eqnarray*}$

Oder hab ich es falsch gewählt hm ?

26.11.2012, 12:43

Der Ehrgeizige

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Ich bin jetzt eine gefühlte Stunde am herumwählen und komme an einem bestimmten Punkt nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+x-2}{x^{3}+3x^{2}+7x+5}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+5} \end{eqnarray*}$

So Habe jeweils erweitert, damit der Nenner gleich wird:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+x-2}{x^{3}+3x^{2}+7x+5}=\frac{A(x^{2}+2x+5)}{x^{3}+3x^{2}+7x+5}+\frac{(Bx+C)(x+1)}{x^{3}+3x^{2}+7x+5} \end{eqnarray*}$

Und wie wähle ich das jetzt, das geht einfach nicht böse

böse

habe alle möglichen Kombis schon gemacht-.-

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