Konvergenzradius

24.11.2012, 21:30

B.A.

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Konvergenzradius

nabend,

ich hab mal ne Frage und zwar möchte ich den Konvergenzradius für folgende Potenzreihe aufschreiben bin mir aber bezüglich der Notation nicht sicher,

die Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n!} x^{n} \end{eqnarray*}$

Vorab eine Frage: Ich hab mir mal Definitionen angeschaut und da wurde der Konvergenzradius bei Null beginnend gemacht.... äh also so in etwa:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty ... \end{eqnarray*}$

Ich habe das jetzt aber nicht berücksichtigt.... muss ich vorher ne Indexverschiebung machen? Oder stimmt meine Rechnung trotz bei n=1 beginnend?

Hier mein Ergebnis ohne Zwischenschritte: (Quotientenkrit.)

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } |\frac{a_n}{a_{n+1}} | = \limsup_{n \to \infty } |\frac{\frac{n^n}{n!} }{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} } |= ...= 1 \end{eqnarray*}$

Dann ist mein Konvergenzradius also 1? Oder |x|<=1 (soll kleinergleich sein) oder wie soll ich das aufschreiben? Ich müsste ein Intervall angeben, so was wie: "Die Potenzreihe konvergiert für x auf dem Intervall (-1,1)?

24.11.2012, 21:52

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius
Die Zwischenschritte solltest du wohl doch lieber aufschreiben.

Und überlege dir mal, ob es etwas an der Konvergenz/dem Konvergenzradius ändert, wenn du den Term mit Index Null entfernst/hinzufügst.

Und wieso redest du von $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert\leq1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x\in(-1,1) \end{eqnarray*}$ ?

24.11.2012, 22:04

Sly

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Jap, aufschreiben hilft immer. Davon abgesehen ist aber auch ein Fehler in deiner Rechnung, denn der limsup da ist nicht 1.

24.11.2012, 22:11

Che Netzer

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Deswegen sollte er die Zwischenschritte hier auch nochmal aufschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2012, 22:29

B.A.

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Che Netzer
Die Zwischenschritte solltest du wohl doch lieber aufschreiben.

Und überlege dir mal, ob es etwas an der Konvergenz/dem Konvergenzradius ändert, wenn du den Term mit Index Null entfernst/hinzufügst.

Und wieso redest du von $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert\leq1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x\in(-1,1) \end{eqnarray*}$ ?

Okay...

Zur Frage ob sich was ändert... ich habs mir mal die einzelnen Summanden angeschaut wenn wir bei 0 anfangen und es ändert sich nix weil $\begin{eqnarray*} \frac{0^0}{0!} x^0 =0 \end{eqnarray*}$ nichts an der Summe ändert. Woher soll ich wissen ob sich das auf den Konvergenzradius auswirkt? Oo Ich hätte jetzt gesagt dass ich das Ganze vernachlässigen kann...

Mein Rechenweg, da muss ich wohl durch...

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } |\frac{a_n}{a_{n+1}} | = \limsup_{n \to \infty } |\frac{\frac{n^n}{n!} }{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} } |= \limsup_{n \to \infty } |\frac{n^n \cdot (n+1)!}{n! \cdot (n+1)^{n+1}} |= \limsup_{n \to \infty } |\frac{n^n \cdot n! \cdot (n+1)}{n! \cdot (n+1)^n \cdot (n+1)} |= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } |\frac{n^n }{(n+1)^n} |= \limsup_{n \to \infty } |(\frac{n }{n+1})^n |= \limsup_{n \to \infty } |(\frac{1 }{1+\frac{1}{n} })^n |= |1| =1 \end{eqnarray*}$

Zu deiner anderen Frage... $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert\leq1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ wäre das richtig? Ich weiß noch nicht mal wie ich das Ergebnis ausdrücken soll. Ich soll ja schon nen Antwortsatz hinkriegen können. Ne "Lösung" hinklatschen gibt sicher wieder auch nen Punktabzug.

Zitat:

Original von Sly Jap, aufschreiben hilft immer. Davon abgesehen ist aber auch ein Fehler in deiner Rechnung, denn der limsup da ist nicht 1.

Bin verwirrt^^. Ich glaub ich mir net mal sicher was ich überhaupt produziere, Hammer

Hammer

24.11.2012, 22:31

B.A.

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okay stopp... ich hab nen kleinen fehler entdeckt meld mich gleich wieder lol

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24.11.2012, 22:35

B.A.

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Okay Fehlalarm hab mich verlesen unglücklich

unglücklich

24.11.2012, 22:40

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von B.A.
Zur Frage ob sich was ändert... ich habs mir mal die einzelnen Summanden angeschaut wenn wir bei 0 anfangen und es ändert sich nix weil $\begin{eqnarray*} \frac{0^0}{0!} x^0 =0 \end{eqnarray*}$ nichts an der Summe ändert.

Eher $\begin{eqnarray*} \frac{0^0}{0!}x^0=1 \end{eqnarray*}$ .
Ändert aber auch nichts.

Zitat:

Woher soll ich wissen ob sich das auf den Konvergenzradius auswirkt? Oo Ich hätte jetzt gesagt dass ich das Ganze vernachlässigen kann...

Genau. Wenn du eine endliche Zahl (endlich viele Summanden) zu einer Reihe addierst, ändert sich dann irgendetwas an ihrem Konvergenzverhalten?

Wie hast du denn in der Rechnung den Grenzwert schließlich bestimmt? Wie bist du auf Eins gekommen?
Ich rate da eher, dich an eine Darstellung von $\begin{eqnarray*} \mathrm e \end{eqnarray*}$ zu erinnern.

Und $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert\leq1 \end{eqnarray*}$ ist zwar falsch, dazu würde aber tatsächlich $\begin{eqnarray*} x\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ passen.
Was kann man mithilfe des Konvergenzradius aber über das Konvergenzverhalten der Reihe aussagen?

24.11.2012, 22:47

B.A.

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zu deiner 1. Frage: nein an dem konv. verhalten ändert sich nix...

und deine 2 frage verwirrt mich... ich habe doch den grenzwert ausgerechnet und da kam 1 raus. Ich sollte vllt mal die Aufgabenstellung notieren:

"Berechnen sie den Konvergenzradius der folgeden Potenzreihen: ... ."

Wäre ich dann nicht schon mit dieser Rechnung fertig: (ich habe mal den letzten Term entfernt, damit die Betragsstriche dableiben)

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } |\frac{a_n}{a_{n+1}} | = \limsup_{n \to \infty } |\frac{\frac{n^n}{n!} }{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} } |= \limsup_{n \to \infty } |\frac{n^n \cdot (n+1)!}{n! \cdot (n+1)^{n+1}} |= \limsup_{n \to \infty } |\frac{n^n \cdot n! \cdot (n+1)}{n! \cdot (n+1)^n \cdot (n+1)} |= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } |\frac{n^n }{(n+1)^n} |= \limsup_{n \to \infty } |(\frac{n }{n+1})^n |= \limsup_{n \to \infty } |(\frac{1 }{1+\frac{1}{n} })^n |= |1| \end{eqnarray*}$

=> Konvergenzradius für die Potenzreihe lautet: $\begin{eqnarray*} x\in[-1,1] \end{eqnarray*}$

24.11.2012, 22:51

Che Netzer

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Zitat:

Original von B.A.
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } |\frac{n^n }{(n+1)^n} |= \limsup_{n \to \infty } |(\frac{n }{n+1})^n |= \limsup_{n \to \infty } |(\frac{1 }{1+\frac{1}{n} })^n |= |1| \end{eqnarray*}$

Eben hier liegt der Fehler.

Zitat:

=> Konvergenzradius für die Potenzreihe lautet: $\begin{eqnarray*} x\in[-1,1] \end{eqnarray*}$

Naja, das wäre nicht der Radius, sondern die Angabe der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die die Reihe konvergiert. Die wäre aber auch dann falsch, wenn der Konvergenzradius Eins wäre (siehe letzte Frage).

24.11.2012, 22:58

B.A.

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Es macht irgendwie immernoch nicht klick...

Nochmal zu deiner letzten Frage wie ich auf den Grenzwert gekommen bin:

für n gegen unendlich ist dieser Term $\begin{eqnarray*} (\frac{1 }{1+\frac{1}{n} })^n \end{eqnarray*}$ Eins weil 1/n gegen null geht und ich dann sowas wie 1^(unendlich) stehen habe... und das ist doch 1?

24.11.2012, 23:02

Che Netzer

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Du kannst nicht einfach einen Grenzwert zuerst bilden. Grenzwerte der Form $\begin{eqnarray*} 1^\infty \end{eqnarray*}$ sind nicht sinnvoll definiert, ähnlich wie $\begin{eqnarray*} \frac00 \end{eqnarray*}$ nicht Eins ist.
Da musst du dann etwas sorgfältiger vorgehen.
Tipp: Gehe zurück zu $\begin{eqnarray*} \left(\frac n{n+1}\right)^n \end{eqnarray*}$ und betrachte den Kehrwert.

24.11.2012, 23:05

B.A.

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Ich merke grade dass ich übersehen habe, dass es sich um den Limes Superior handelt und nicht einfach um den Limes an sich. liegt darin vielleicht der fehler? komme mir so vor als würd ich mcih nur im kreis drehen verwirrt

verwirrt

24.11.2012, 23:09

Che Netzer

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Nein, der Grenzwert existiert sogar, man kann auf den Limes superior also auch verzichten.
Deine Argumentation mit $\begin{eqnarray*} 1^\infty=1 \end{eqnarray*}$ klappt aber nicht ganz.
Du darfst wie gesagt nicht zuerst den Grenzwert innerhalb der Klammer bestimmen.

24.11.2012, 23:11

B.A.

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okay, man lernt immer neues ... das mit der Präzision sitzt wohl noch nicht ganz.

Mit dem Kehrwert hab ich das hier raus:

\lim_{n\to \infty } (\frac{n+1}{n})^n= \lim_{n\to \infty } (1+\frac{1}{n})^n= e

Da muss ich aber nochmal den Kehrwert bilden: \frac{1}{e} ist dann meine Lösung.

Und? Ist das jetzt mein gesuchter Radius?

24.11.2012, 23:14

B.A.

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Zitat:

Original von B.A.
okay, man lernt immer neues ... das mit der Präzision sitzt wohl noch nicht ganz.

Mit dem Kehrwert hab ich das hier raus:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n\to \infty } (\frac{n+1}{n})^n= \lim_{n\to \infty } (1+\frac{1}{n})^n= e <br /> \end{eqnarray*}$
Da muss ich aber nochmal den Kehrwert bilden: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ ist dann meine Lösung.

Und? Ist das jetzt mein gesuchter Radius?

sry

24.11.2012, 23:16

Che Netzer

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Genau, jetzt stimmt es.
Und für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus welchem Intervall wissen wir jetzt, dass die Reihe konvergiert?

24.11.2012, 23:20

B.A.

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das wäre ja meine ursprüngliche Frage gewesen in dem ersten Beitrag smile

smile

Ich war eigentlich wieder unpräzise die Lösung e^-1 müsste in Betragsstrichen stehen oder?

Ähm, würd sagen für $\begin{eqnarray*} x \in [-\frac{1}{e},\frac{1}{e} ] \end{eqnarray*}$ Forum Kloppe

Forum Kloppe

24.11.2012, 23:32

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} \frac1{\mathrm e} \end{eqnarray*}$ ist doch ohnehin schon positiv.

Und bist du sicher, dass die Reihe auch für $\begin{eqnarray*} x=\pm\frac1{\mathrm e} \end{eqnarray*}$ konvergiert?

24.11.2012, 23:49

B.A.

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So wie du es sagst hört es sich schon so an als würde es nur für $\begin{eqnarray*} x \in (- \frac{1}{e},\frac{1}{e} ) \end{eqnarray*}$ .... aber mein Problem war ja ohnehin dass ich net wusste wie ich das Ergebnis zu interpretieren habe...

24.11.2012, 23:52

Che Netzer

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Ja, nur für Werte INNERHALB des Konvergenzradius/-intervalls können wir die Konvergenz folgern.
Und was möchtest du da interpretieren?

24.11.2012, 23:56

B.A.

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Okay, ich habs verstanden. Es gibt mir darum ob ich hinschreibe der Konv. Radius ist 1/e und ob ich dann fertig bin oder ob ich einen Intervall angeben muss und ob dieser ein offenes oder abgeschlossenes ist... warum konvergiert die reihe nicht an den Randpunkten irgendwie ist mir das noch nicht ganz klar?

24.11.2012, 23:59

Che Netzer

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Was du angeben musst, hängt von der Aufgabenstellung ab.

Wenn du alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ finden sollst, für die die Reihe konvergiert, ist das übliche Vorgehen folgendes:
1. Bestimme den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .
Dies zeigt Konvergenz für $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert< r \end{eqnarray*}$ (echt kleiner!) und Divergenz für $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert>r \end{eqnarray*}$ (echt größer!).
2. Betrachte $\begin{eqnarray*} x=\pm r \end{eqnarray*}$ gesondert.

Wenn du nur den Konvergenzradius angeben sollst, brauchst du den Rest aber nicht mit aufzuschreiben.
Dass die gegebene Reihe an den Randpunkten nicht konvergiert, ist "Zufall", es gibt auch Reihen, die an den Randpunkten konvergieren.

25.11.2012, 00:07

B.A.

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Danke für die Erklärung. Es gibt noch einen Aufgabenteil 2. Evtll schaff ich den etwas selbstständiger wenn ich wieder einen Tipp bekäme. Leider habe ich hier bislang nichts stehen, weil wir auch in den Übungen keine Tipps bekommen haben.

Es geht wieder um Konvergenzradius.

Bestimmen sie den Konv.radius für die folgende Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < \alpha \leq |a_n| \leq \beta \end{eqnarray*}$

für alle n mit zwei Konstanten alpha und beta.

Irgendwie schreckt mich das ein wenig ab. Gehe ich prinzipiell genauso voran? Wieder mit dem Quotientenkriterium? Müsste ich auch ne Fallunterscheidung machen? Bin ein wenig überfordert

25.11.2012, 00:09

Che Netzer

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Hier würde ich eher das Wurzelkriterium benutzen.

25.11.2012, 00:44

B.A.

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Okay, für den ersten Aufgabenteil habe ich mir auch das Wurzelkriterium notiert gehabt...

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|a_n|} } }<br /> \end{eqnarray*}$

Ich hätte jetzt spontan behauptet dass man zwischen
1. alpha ungleich beta und
2. alpha gleich beta unterscheiden muss.

Im ersten Fall wäre

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|a_n|} } } =\frac{1}{\limsup_{n \to \infty\sqrt[n]{|\beta | } } }<br /> \end{eqnarray*}$

und da die Wurzel nur für positive Zahlen definiert ist...

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|a_n|} } } =\frac{1}{\limsup_{n \to \infty\sqrt[n]{|\beta | } }]} =\frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{\beta } }} = 1<br /> \end{eqnarray*}$

Im letzten schritt habe ich wieder e verwendet.

$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt[n]{\beta } = \beta ^\frac{1}{n} = e ^{ln (\beta )\cdot \frac{1}{n}} = exp (\frac{ln (\beta )}{n} )= e^0 = 1 <br /> \end{eqnarray*}$

wie schauts bislang aus?

25.11.2012, 00:45

Che Netzer

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Zitat:

Original von B.A.
Im ersten Fall wäre

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|a_n|} } } =\frac{1}{\limsup_{n \to \infty\sqrt[n]{|\beta | } } }<br /> \end{eqnarray*}$

Wieso das denn?
Mache lieber zwei Abschätzungen (Dreifolgensatz/Sandwichprinzip).

25.11.2012, 00:52

B.A.

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Das habe ich schon mal gehört aber irgendwie will mein Gehirn nicht mehr so mitmachen... wie würd das dann aussehen? Ich geh diesmal auf ne Nummer sicher, wie du sicher merkst braucht ich ne halbe ewigkeit für jeden schritt... das ist deprimierend unglücklich

unglücklich

Bin mir nicht sicher ob ich die Anwendung noch richtig rekonstruieren kann... so?:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\alpha |} } } \leq |a_n| \leq \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\beta |} } } <br /> \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 00:54

Che Netzer

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Die Abschätzung verstehe ich nicht...
Betrachte lieber nur
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\frac1{\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}} \end{eqnarray*}$
und führe im Nenner zwei Abschätzungen durch und benutze dabei die Voraussetzung.

25.11.2012, 00:56

B.A.

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$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\alpha |} } } \leq R \leq \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\beta |} } } <br /> \end{eqnarray*}$ [/quote]

Ich meinte auch das hier Big Laugh

Big Laugh

tschuldige.... R für Konvergenzradius. So hab ich das Sandwichlemma noch in Erinnerung verwirrt

verwirrt

verwirrt

25.11.2012, 00:57

Che Netzer

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Da müsstest du nur noch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ vertauschen.
Anschließend kannst du die beiden Grenzwerte bestimmen.

25.11.2012, 00:58

B.A.

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wenn ich bei diesem ansatz bleibe habe ich für n-te wurzel der beiden jeweils 1 als radius raus.... und da es rechts und links 1 ist ist der radius ingesamt 1... oder? ich glaub ich werd müde

25.11.2012, 01:00

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst statt

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\alpha |} } } \leq |a_n| <br /> \leq \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\beta |} } } <br /> \end{eqnarray*}$

das hier:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\beta |} } } \leq |a_n| <br /> \leq \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\alpha |} } } <br /> \end{eqnarray*}$

warum?

25.11.2012, 01:00

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt so.

Zum zweiten Beitrag: Hier hast du wieder das $\begin{eqnarray*} \lvert a_n\rvert \end{eqnarray*}$ in der Mitte...
Naja, im Kehrwert kehrt sich ja die Ungleichung um.

25.11.2012, 01:07

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh entschuldigung.... so

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\beta |} } } \leq R \leq \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\alpha |} } } \end{eqnarray*}$

Die Betragsstriche Fallen weg, da die Wurzel nur für positive gilt:

Und jetzt kann ich ja diese Rechnung machen:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt[n]{\beta } = \beta ^\frac{1}{n} = e ^{ln (\beta )\cdot \frac{1}{n}} = exp (\frac{ln (\beta )}{n} )= e^0 = 1 <br /> \end{eqnarray*}$

analog für a.

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\beta |} } } \leq R \leq \frac{1}{\limsup_{n \to \infty \sqrt[n]{|\alpha |} } } =1 \end{eqnarray*}$

=> Konvergenzradius ist x € (-1,1)

25.11.2012, 01:08

Che Netzer

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Zitat:

Original von B.A.
$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt[n]{\beta } = \beta ^\frac{1}{n} = e ^{ln (\beta )\cdot \frac{1}{n}} = exp (\frac{ln (\beta )}{n} )= e^0 = 1 <br /> \end{eqnarray*}$

Aber bitte nicht mit Gleichheitszeichen vor dem $\begin{eqnarray*} \mathrm e^0 \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

Zitat:

=> Konvergenzradius ist x € (-1,1)

Nein, der Konvergenzradius ist Eins.

25.11.2012, 01:12

B.A.

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entschuldige überall fehlt ein lim n gegen unendlich. damit wärs aber korrekt, richtig?

Diesmal kein Intervall... ich glaub ich muss mich ein wenig intensiver befassen mit dem thema

25.11.2012, 01:14

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mit Limes stimmt die Rechnung.

Doch, es gibt ein Konvergenzintervall. Ein Radius ist aber eine Zahl und kein Intervall.
Für $\begin{eqnarray*} x\in(-1,1) \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe, aber " $\begin{eqnarray*} x\in(-1,1) \end{eqnarray*}$ " ist kein (Konvergenz-)Radius.

25.11.2012, 01:21

B.A.

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achso dann ist es ein notationsfehler. denke damit habe ich fertig. wow, ich habe fast 5 std gebraucht...und bin grade mal bei der hälfte des blattes. unglaublich produktiv. ich danke dir sehr für deine hilfe, man ließt sich wieder.

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