Textaufgabe zur Stetigkeit von Funktionen

24.11.2012, 21:31	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Textaufgabe zur Stetigkeit von Funktionen Meine Frage: Hallo erstmal ! Folgende Angabe: Fällt Licht mit dem Einfallswinkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ auf einen Spalt, wird es gebeugt. Für die Intensität f( $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ) des gebeugten Lichtes in Abhängigkeit vom Ausfallswinkel $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ist die Abweichung von der Lotrichtung der Spaltebene) gilt die folgende Formel: $\begin{eqnarray} f(\beta) = \frac{\sin²(k(\sin(\alpha)-\sin(\beta)) }{(\sin(\alpha)-sin(\beta))^{2}} \end{eqnarray}$ Dabei ist k eine Konstante, die von der Breite des Spaltes und der Wellenlänge des Lichtes abhängt. Ist die Funktion f( $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ) an der Stelle $\begin{eqnarray} \beta = \alpha \end{eqnarray}$ hebbar stetig ? Falls ja, welcher Funktionswert wird für die stetige Ergänzung benötigt ? Meine Ideen: Na gut also mal zB für Alpha = Pi/2 ausprobiert sieht man das sich die Funktion für Pi/2 an den Wert annähert. (k=1 gewählt) Bei Pi/2 aber natürlich nicht definiert (also nicht stetig). Rein vom ausprobieren her sieht man auch das der linke und rechte Grenzwert gleich ist (1) die Funktion an der Stelle somit stetig hebbar sein müsste. Bloß wie beweis ich das ? Erstmal wie beweise ich linke und rechten (also einmal für $\begin{eqnarray} \lim_{\beta \to \alpha+ } f(\beta) \end{eqnarray}$ und einmal halt für Alpha- ) Grenzwert einzeln ? Hab mich mal am "normalen" Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{\beta \to \alpha } f(\beta) \end{eqnarray}$ versucht. Beim ersten Versuch kommt ja $\begin{eqnarray} \frac{0}{0} \end{eqnarray}$ raus, also hab ich L'Hospital versucht. Also Zähler und Nenner einmal ableiten, komm aber wieder auf nix...
25.11.2012, 10:29	rza	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm also wie verhält sich denn ,also wie welche funktion, $\begin{eqnarray} \sin(x) \end{eqnarray}$ für x gegen 0 ? damit bekommst du mal eine idee obs hebbar stetig is ... dann musst du dass halt noch formal beweisen ... wenn du l hopital richtig anwendest sollte man schon auf das richtig kommen ... schreib das hier mal auf
25.11.2012, 12:59	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
wie soll ich die beiden einzelnen Grenzwerte (links und rechtsseitig) extra beweisen ? Na gut wie gesagt ich hab ja die Vermutung das sie hebbar stetig ist und hab mich auch mal am Grenzwert versucht: $\begin{eqnarray} \lim_{\beta \to \alpha} f(\beta) = \frac{sin²(k(\sin(\alpha)-(\sin(\alpha))}{((\sin(\alpha)-\sin(\alpha))^{2}} \end{eqnarray}$ das im Zähler ist f(x) und im Nenner g(x): $\begin{eqnarray} f(x) = sin²(k(\sin(\alpha)-\sin(\alpha)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x) = ((\sin(\alpha)-\sin(\alpha))^{2} \end{eqnarray}$ zu f(x): $\begin{eqnarray} f'(x) = 2\sin(k\sin(\alpha)-\sin(\alpha))cos(k(\sin(\alpha)-\sin(\alpha)))k(\cos(\alpha)-\cos(\alpha)) \end{eqnarray}$ zu g(x): $\begin{eqnarray} g'(x) = 2 * (\sin(\alpha)-\sin(\alpha))(\cos(\alpha)-\cos(\alpha)) \end{eqnarray}$ Und ich hab wieder 0/0.....
25.11.2012, 14:58	rza	Auf diesen Beitrag antworten »
hey also 1)erstens musst du mal die abhängigkeiten der funktion richtig schreiben ... du hast hier nämlich bei g und f immer alpha .... das alpha ist fest gewählt ... und entscheide dich ob nun x oder beta 2) du mussst richtig ableiten ... sinus von alpha ist eine konstante 3) wende jetzt mal l hopital an und noch zu dem was ich davor gesagt habe ... mit einer näherung von sin(x) um 0 kann man auch schon was drüber vermuten

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