Winkelhalbierende

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25.11.2012, 00:58	DerChemieStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelhalbierende Meine Frage: Hallo allerseits, sitze hier vor einer vierteiligen Aufgabe, bei welcher ich in Aufgabenteil d) einfach auf keinen grünen Zweig komme. Aufgabenteil d) lautet: Es gibt zwei Winkelhalbierende zwischen den beiden Geraden $\begin{eqnarray} g_{PQ} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{PS} \end{eqnarray}$ . Diese liegen in einer Ebene mit $\begin{eqnarray} g_{PQ} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{PS} \end{eqnarray}$ , laufen durch den Schnittpunkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und teilen jeweils die großen oder die kleinen Winkel zwischen $\begin{eqnarray} g_{PQ} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{PS} \end{eqnarray}$ zur Hälfte. Geben Sie auch für die beiden Winkelhalbierenden Geradengleichungen in Paramameterdarstellung an! Meine Ideen: Erstmal die (eigentlich logische) Vorabinfo: $\begin{eqnarray} g_{PQ} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{PS} \end{eqnarray}$ wurden in dem Aufgabenteil c) berechnet und lauten: $\begin{eqnarray} g_{PQ}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{PS}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + l * \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, eigentlich komme ich bei d) garnicht mehr weiter, da ich nicht weiß, wie ich all diese Informationen mit in eine Berechnung einbeziehen soll (also in einer Ebene, Schnittpunk $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ , Teilen der Winkel) So ziemlich das einzige, was ich noch geschafft habe ist die Ebenengleichung aufzustellen: $\begin{eqnarray} E = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + m * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + n * \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt hatte ich die Idee, dass die Winkelhalbierenden ebenfalls den Stützvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ haben können, da sie ja auch durch den Punkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ laufen. Weiterhin müssten sie in der Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ liegen, d.h. ich könnte folgende Gleichung aufstellen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + m * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + n * \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + o * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Da müsste, wenn ich sie löse eine parametrisierte Lösung rauskommen für die Winkelhalbierende... Abgesehen davon, dass ich wahrscheinlich länger bräuchte es zu lösen, muss ich ja noch irgendwie die Winkelinformationen mit einfließen lassen, dazu ich überhaupt zu zwei Lösungen gelange und da habe ich jetzt keine Ahnung wie ich das anstellen soll.... Bitte helft mir Mit freundlichen Grüßen DerChemieStudent
25.11.2012, 01:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Normiere die beiden Richtungsvektoren und addiere sie. Der Summenvektor liegt genau auf der Winkelhalbierenden (weshalb?). Wenn du die Richtungsvektoren richtig orientierst, also PQ und PS verwendest, bekommst du gleich die "richtige" Innenwinkelsymmetrale, welche jenen Bereich teilt, der in der Richtung von PQ und PS liegt. mY+
25.11.2012, 02:58	DerChemieStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke erstmal für die Antwort! Leider kann ich damit erstmal nichts anfangen, da wir noch keine Normierung von Richtungsvektoren behandelt haben. Eigentlich müsste die Aufgabe mit den einfachsten Mittel (Kreuzprodukt, Addition von Vektoren, Subtraktion von Vektoren, Multiplikationen von Vekotoren, Skalarprodukt, Ebenen und Geradegleichungen) zu lösen sein. Trotzdem nochmals vielen Dank. Der Chemistudent
25.11.2012, 10:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Antwort, welche ich dir zuvor gegeben habe, ist m. E. sicher die einfachste. Hinweis: Einen Vektor normieren heißt, diesen auf die Länge 1 bringen. Dazu dividiert man ihn durch seine eigene Länge. ---------- Zu der Aufgabe: Es genügt hierbei auch, dass die beiden Richtungsvektoren die gleiche Länge, z.B. 15, haben. Nochmals: Warum? Wenn du das mal hinterfragst, wird dir der Vorgang klar werden. mY+
25.11.2012, 12:29	DerChemieStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Das Prinzip der Normierung habe ich wohl verstanden, allerdings haben wir das Dividieren von Vektoren noch nicht in der Vorlesung behandelt, d.h. ich gehe davon aus, dass wir es auch nicht mit diesen Mitteln lösen müssen... Zur besseren Übersicht habe ich nocheinmal das Aufgabenblatt hochgeladen, auf welchem sich auch noch eine Skizze befindet. Gruß und Dank DerChemieStudent
25.11.2012, 13:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr werdet wohl behandelt haben, wie man den Betrag eines Vektors berechnet und auch, wie man Vektoren mit einem Skalar multipliziert. In dem Aufgabenblatt ist (bei einer anderen Aufgabe) auch vom Winkel der Vektoren die Rede und auch dazu braucht man deren Beträge. Wenn die Längen der beiden Vektoren gleich sind, kann man diese zu einer Raute ergänzen, auf deren Diagonale, die von dem gemeinsamen Punkt ausgeht, eben auch die Winkelsymmetrale liegt. mY+
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25.11.2012, 21:16	DerChemieStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das haben wir zwar alles gemacht (also Beträge und Multiplikation mit einem Skalar), aber ich habe echt keine Ahnung, wie ich jetzt daraus eine Raute bauen soll... Gibt es wirklich keine andere Lösung? Oder könntest du deine Lösung ein bisschen mehr ausformulieren und/oder ggf. an einem Beispiel vorrechnnen? Ich habe glaube ich zwar verstanden, wie du von der Raute auf die Winkelhalbierende kommst, aber leider nicht, wie ich die Raute an sich bilden soll Bräuchte das vorzugsweise bis morgen Gruß DerChemieStudent
25.11.2012, 22:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es steht alles schon in den Vorposts. Der Tipp an dich ging auch dahin, dass du dir kurz mittels einer kleinen Skizze den geometrischen Sachverhalt mit der Raute klarmachst. Leider hatte ich bisher den Eindruck, dass du nicht wirklich an dieser Lösung interessiert warst oder dich zumindest gegen deren Umsetzung sträubst und lieber andere und kompliziertere Wege im Sinne hast. Nochmals: Du sollst auf beiden Geraden deren Richtungsvektoren auf die gleiche Länge bringen und diese addieren und damit bist du schon fertig. Und da die Zahlen in der Angabe sehr freundlich sind, ist das fast eine Kopfrechnung: Die Länge bei g1 ist 3, jene bei g2 5. Somit liegt es nahe, die beiden Vektoren 15 LE (kgV!) lang zu machen. Daher wird der erste mit 5, der zweite mit 3 multipliziert und dann diese beiden Teilergebnisse addiert [ --> (19; 5; -22) ]. Und nun noch die Gretchenfrage: WIE wird (analog) der Richtungsvektor der 2. Winkelsymmetralen errechnet? mY+
26.11.2012, 00:42	DerChemieStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Sag mir bitte, dass die andere Winkelhalbierende (0,-1,4) + n * (-1,-5,-2) lautet... (:
26.11.2012, 13:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es Auch wenn du (1; 5; 2) herausbekommen solltest, ist es nicht falsch, sondern nur die andere Richtung. Welchen Winkel schließen die beiden Winkelsymmetralen miteinander ein? Diesen kann man mit dem Skalarprodukt zeigen ... mY+
27.11.2012, 00:36	DerChemieStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Da danach nicht gefragt war, habe ich das leider nicht ausgerechnet, mit dem Skalarprodukt musste man allerdings in Aufgabe 1 a) rechnen... Das habe ich auch alles super geschafft. Sollte ich mal Zeit haben (bin momentan sehr überlastet, heute von 10 bis 19 Uhr Uni, dann bis 22.45 Übungen gerechnet), kann ich dir die Frage gerne beantworten. Vielen Dank nochmal für deine Antworten, du hast mir sehr geholfen und ich habe das mit der Raute schließlich auch ziemlich gut nachvollziehen können (:
27.11.2012, 10:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du benötigst nicht wirklich viel Zeit: (19; 5; -22) * (1; 5; 2) = 0, daher stehen die beiden Winkelsymmetralen aufeinander senkrecht. Eine Tatsache, die schon aus der Geometrie ersichtlich und auch schon den Schülern der Unterstufe bekannt ist (bzw. sein sollte) mY+

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