Matrizenrechnung, Unternehmen

25.11.2012, 04:09	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizenrechnung, Unternehmen Meine Frage: Hi, ich habe ein Problem beim lösen folgender Aufgabe: Ein Unternehmen stellt aus vier Rohstoffen R_1, R_2, R_3 und R_4 die Zwischenprodukte Z_1, Z_2 und Z_3 her. Diese werden dann zu den Fertigprodukten E_1, E_2 und E_3 zusammengesetzt. Die nachfolgenden Stücklisten (ich muss sie leider in Matrix schreibweise angeben) geben den Bedarf an Rohstoffen für je 1 Stück der Zwischenprodukte bzw. den Bedarf an Zwischenprodukten für je 1 Stück der Endprodukte an. a) Im Rohstofflager sind von R_1 240 Stück, von R_2 410 Stück, von R_3 350 Stück und von R_4 300 Stück vorrätig. Wie viele Stück von Z_1, Z_2 und Z_3 können damit hergestellt werden, wenn die Rohstoffe R_1, R_2 und R_4 vollständig aufgebraucht werden sollen? Wie viel Stück von R_3 sind dann noch am Lager? b) Für die kommende Produktionsperiode ist geplant, dass die Zwischenprodukte im Stückverhältnis 2:2:3 hergestellt werden sollen. Wie viele Stück von jedem Zwischenprodukt können dann höchstens hergestellt werden, wenn vom Lagerbestand aus Teilaufgabe a) ausgegangen wird? c) Wie viel Stück von jedem Rohstoff bzw. von jedem Zwischenprodukt werden zur Herstellung von 40 Stück E_1, 20 Stück E_2 und 50 Stück E_3 benötigt? Meine Ideen: Ìhr müsst meine Ergebnisse nicht korrigieren. Es geht mir darum, dass der Lösungsansatz korrekt ist. Der Rest sollte dann ohnehin klappen, den wozu gibt es online Rechner. Zwischenprodukttabelle: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3&2&2 \\ 4&1&5 \\ 0&3&1 \\ 0&4&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Spalten sind von $\begin{eqnarray} Z_1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} Z_3 \end{eqnarray}$ beschriften. Die Zeilen mit $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} R_4 \end{eqnarray}$ (Ich hätte es gerne als Tabelle angegeben, aber mir fehlen die entsprechenden Codes.) Endprodukttabelle: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 8&12&6 \\ 4&10&8 \\ 2&5&4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Spalten sind mit $\begin{eqnarray} E_1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} E_3 \end{eqnarray}$ beschriftet. Die Zeilen von $\begin{eqnarray} Z_1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} Z_3 \end{eqnarray}$ . a) Ich ignoriere von der Zwischenprodukttabelle die 3te Spalte, da ja lediglich erstmal die Rohstoffe 1, 2 und 4 verbraucht werden sollen. Am Ende gucke ich was von Rohstoff 3 übrigbleibt. So entsteht folgendes LGS: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3&2&2\vline & 240 \\<br /> 4&1&5\vline & 410 \\<br /> 0&4&3\vline & 300<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Lösungsvektor lautet: $\begin{eqnarray} \vec{x}=\begin{pmatrix} 20\\ 30\\ 60 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun setzte ich die Wert in die "3te Spalte" ein und berechne den Rest: $\begin{eqnarray} x:=\text{Rest} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+3\cdot 30+1\cdot 60=350<br /> x=200 \end{eqnarray}$ Somit bleiben 200 ME von $\begin{eqnarray} R_3 \end{eqnarray}$ über wenn man dementsprechend produziert. b) Hier habe ich größere Probleme und bräuchte einen Gedankenanstoß. Ich weiß, dass das Verhältnis der Stoffe so liegen muss: $\begin{eqnarray} Z_1=\frac27<br /> Z_2=\frac27<br /> Z_3=\frac37 \end{eqnarray}$ Für mehr hat es leider bisher nicht gereicht, da ich mir sehr unsicher bin. c) Ich würde nun einfach die Endproduktmatrix mit dem Mengenvektor multiplizieren. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 8&12&6\\4&10&8\\ 2&5&4<br /> \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 40\\ 20\\ 50\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 860\\ 760\\ 380\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So viele Zwischenprodukte würde man brauchen. Das selbe würde ich nun für die Rohstoffe machen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3&2&2 \\ 4&1&5 \\ 0&3&1 \\ 0&4&3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 860\\ 760\\ 380\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4860\\ 6100\\ 2660\\ 4180\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Richtig? Vielen Dank im voraus. Mfg Edit: Diverse korrekturen.
25.11.2012, 10:43	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Gmasterflash, bei a) und c) habe ich das gleiche Ergebnis. bei der b) kann man ja folgende Gleichungen aufstellen: $\begin{eqnarray} z_1=z_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_2=z_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_3=1,5 \cdot z_1 \end{eqnarray}$ Diese Information kannst du dann hier einsetzen: $\begin{eqnarray} 3\cdot z_1+ 2\cdot z_2 + 2\cdot z_3 \leq 240 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4\cdot z_1+ 1\cdot z_2 + 5\cdot z_3 \leq 410 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\cdot z_1+ 5\cdot z_2 + 1\cdot z_3 \leq 350 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\cdot z_1+ 4\cdot z_2 + 3\cdot z_3 \leq 300 \end{eqnarray}$ Ich sage jetzt ersmal nicht mehr dazu. Jedenfalls ist klar, dass alle 4 (Un-)Gleichungen erfülllt sein müssen. Grüße.
25.11.2012, 16:28	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, vielen Dank schonmal. Ich werde mich dann gleich mal an die Rechnung setzen.
25.11.2012, 16:34	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Bin gespannt. Herzliche Grüße.
25.11.2012, 16:52	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe jetzt einfach in das LGS für $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_3 \end{eqnarray}$ jeweils $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ eingesetzt. Das bringt mich zu folgender Rechnung: $\begin{eqnarray} 3z_1+2z_1+3z_1 \leq 240<br /> <br /> z_1\leq 30 \end{eqnarray}$ _ $\begin{eqnarray} 4z_1+2z_1+7.5z_1 \leq 410<br /> <br /> z_1\leq 30.\overline{370} \end{eqnarray}$ _ $\begin{eqnarray} 5z_1+1.5z_1\leq 350<br /> <br /> z_1\leq 53.84\dotso \end{eqnarray}$ _ $\begin{eqnarray} z_1+4.5z_1\leq 300<br /> <br /> z_1\leq 35.29\dotso \end{eqnarray}$ Sämtliche Ungleichungen wären für $\begin{eqnarray} z_1=30 \end{eqnarray}$ erfüllt. So?
25.11.2012, 17:06	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe auf die schnelle nicht alles durchgerechnet. Weiß aber, dass bei mir auch die erste Ungleichung voll ausgeschöpft war. Insofern hatte ich das gleiche Ergebnis.
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25.11.2012, 17:13	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Unterstützung.
25.11.2012, 18:35	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Immer wieder gerne. Grüße.

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