Kurvendiskussion Wendepunkte und Extrema

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25.11.2012, 11:02	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion Wendepunkte und Extrema Meine Frage: Es soll eine komplette Kurvendiskussion an der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)= x^{2}e^{-x} \end{eqnarray}$ durchgeführt werden. Leider Hänge ich bei den Wendepunkten der Funktion. Meine Ideen: Ableitungen: $\begin{eqnarray} f' (x)=-e^{-x}(x-2)x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=e^{-x}(x^{2}-4x+2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x)= -e^{-x}(x^{2}-6x+6) \end{eqnarray}$ Nullstellen berechnen $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= x^{2}e^{-x} \Rightarrow /e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= x^{2} \Rightarrow /sqrt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(0)= x^{0}e^{-0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(0)= 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \Rightarrow N(0/0) \end{eqnarray}$ Extrema Minimum, Maximum $\begin{eqnarray} f' (x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=-e^{-x}(x-2)x \Rightarrow /-e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=(x-2)x \end{eqnarray}$ 1. Fall: $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ Ein Produkt ist immer genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. $\begin{eqnarray} f(0)= 0^{2}e^{-0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(0)\geq 0 \Rightarrow Tiefpunkt TP(0/0) \end{eqnarray}$ 2. Fall: $\begin{eqnarray} x-2=0 \Rightarrow /+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(2)= 2^{2}e^{-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(2)=0,54 \Rightarrow Hochpunkt HP(2/0.54) \end{eqnarray}$ [attach]26857[/attach] Wendepunkte: $\begin{eqnarray} f''(x)= 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0)=e^{-x}(x^{2}-4x+2) \Rightarrow /e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = x^{2}-4x+2 \Rightarrow / p-q-Formel \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2}= -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^2 -(+2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1}=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2}=2 \end{eqnarray}$ Irgewie können die Wendepunkte nicht stimmen. Laut bild müssten die Wendepunkte bei (0,59/0,19) und bei (3,41/0,38) liegen. weiß jemand rat ?
25.11.2012, 11:08	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht alles top aus, soweit . Ein Übertragsfehler, den du scheins auch auf dem Blatt gemacht hast . $\begin{eqnarray} 0=e^{-x}(x^{2}-4x+\color{red}2\color{black}) \Rightarrow /e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = x^{2}-4x+\color{red}4\color{black} \Rightarrow / p-q-Formel \end{eqnarray}$
25.11.2012, 11:09	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh, okay danke.. ich dussel... da sieht man den Wald vor lauter bäumen nicht.
25.11.2012, 11:13	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe gerne .
25.11.2012, 11:15	gast2511	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Wendepunkte und Extrema Mit der abc-Formel erhalte ich für den Wendepunkt: $\begin{eqnarray} x_{1,2} = 2+/- \sqrt2 \end{eqnarray}$
25.11.2012, 11:41	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion Wendepunkte und Extrema Was habe ich hier für einen Definitions- und Wertebereich ? und wie errechne ich das grenzverahlten gegen unendlich ?
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25.11.2012, 11:42	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Sag du es mir, Huette .
25.11.2012, 11:43	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen D=R*
25.11.2012, 11:50	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bräuchte ich einen Moment deine Hilfe...was ist denn R*?
25.11.2012, 11:53	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
sind das nicht alle reelen Zahlen ohne null ?
25.11.2012, 11:58	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, da mach ich meist einen \{0} hinter das R . Kann sein, die Notation ist mir aber gerade nicht geläufig. Kannst du mir nun erklären, wie du darauf kommst, dass 0 nicht dabei sein soll?
25.11.2012, 12:00	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung. Hatte mir gedacht, weil die Funktion dann 0 ist. Ich weiß absolut nicht, wie ich definitionsbereich und Wertebereich bestimme.
25.11.2012, 12:04	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Definitionsbereich schaust du, welche Zahlen du für x einsetzen darfst. Bei einem Bruch musst du zum Beispiel untersuchen, wann der Nenner 0 wird. Für all jene Zahlen, wo der Nenner 0 wird, ist das nicht erlaubt (man darf ja nicht durch 0 teilen). Bei Wurzeln muss man auch aufpassen -> der Radikand darf nicht kleiner als 0 sein. (Gibt noch weitere Fälle wo man aufpassen muss, aber das sind mal die beiden wichtigsten). Bei uns gibt es da kein Problem. Deswegen haben wir D=R . Der Wertebereich bezieht sich auf das y. "Was kann rauskommen".
25.11.2012, 12:11	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh jetzt hab ichs geschnallt. ok. Und wenn ich das Grenzverhalten betrachte, dann läuft x^2 gegen +- unendlich und e^-x gegen 0 und + unendlich ?
25.11.2012, 12:17	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja du solltest schon angeben, für wann es wogegen strebt. Und nein...x² strebt nie gegen -unendlich! Als Tipp noch: Die e-Funktion ist stärker als das Polynom. Wie sieht also unser Streben für -unendlich und +unendlich aus? Wie unser Wertebereich?
25.11.2012, 12:25	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt. x^2 macht ja einen bogen. dann müsste es ja bei -x^2 umgekehrt sein. j Bei der e-funktion habe ich keine Ahnung. sie wird doch gegen 0 laufen, aber 0 nie erreichen. ist das dann 0 oder unendlich ? plus oder minus ?
25.11.2012, 12:28	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Yup, für x² und -x² passts. Nun, wir sind ja am "Streben" interessiert. Ein an die 0 anschmiegen wird also als asymptotisches Verhalten an die 0 deklariert.
25.11.2012, 12:30	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
dann würde ich sagen e^-x strebt nach +unendlich
25.11.2012, 12:32	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Für welches x? Für x gegen +unendlich oder -unendlich. Du kannst nicht einfach lapidar sagen "strebt nach so und so", wenn du gar nicht angibst für was. In unserem Falle ob "links" oder "rechts" :P.
25.11.2012, 12:35	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, nach +unendlich für x gegen -unendlich würde ich sagen, da ich denke das minus*minus plus ergibt. ;-)
25.11.2012, 12:38	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau . Also unsere eigentliche Funktion strebt für x->-unendlich nach +unendlich, da sowohl die e-Funktion als auch das Polynom da nach +unendlich streben. Wie sieht es für x->+unendlich aus?
25.11.2012, 12:46	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
für die Ganze funktion oder für e^-x ? Ich würde sagen, dass für x->+unendlich x^2 gegen +unendlich strebt und e^-x gegen - unendlich, wobei die ganze Funktion dann gegen - unendlich strebt, da die e-funktion stärker gewichtet wird ?
25.11.2012, 12:48	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit "eigentlicher" Funktion meinte ich wohl das was du unter "Ganze funktion" meinst . e^-x strebt für x->-unendlich nicht nach -unendlich. Überprüfe das nochmals . Du hattest es oben doch schon gesagt? Die Argumentation danach würde aber passen.
25.11.2012, 12:52	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
"e^-x strebt für x->-unendlich nicht nach -unendlich. Überprüfe das nochmals . Du hattest es oben doch schon gesagt?" Das habe ich doch auch nicht geschrieben. ich habe doch in meinem letzten post das Grenzverhalten von x->+unenedlich unteruscht. ?!
25.11.2012, 12:54	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, da ist mir nur ein Minus reingerutscht. Sonst aber bleibe ich bei obiger Aussage . "e^-x strebt für x->+unendlich nicht nach -unendlich. Überprüfe das nochmals . Du hattest es oben doch schon gesagt?"
25.11.2012, 13:17	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann gegen 0 .. aber warum ?
25.11.2012, 13:21	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Vllt hilft es dir, wenn du schreibst: $\begin{eqnarray} e^{-x}=\frac{1}{e^x} \end{eqnarray}$ Jetzt lass nochmals x gegen +unendlich streben . So klar?
25.11.2012, 13:25	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
hat das mit der Division durch null zu tun ? ist das immer so, wenn man durch null dividieren müsste ?
25.11.2012, 13:27	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Müssen wir denn durch 0 dividieren? x läuft doch gegen unendlich . Wir haben dann doch so etwas wie $\begin{eqnarray} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray}$ stehen, wenn wir x gegen unendlich laufen lassen, nicht? Das ist nichts anderes als fast 0. Wir streben also gegen 0. Da die e-Funktion mächtiger als das Polynom ist, bleibts dabei. Unsere Funktion strebt gegen 0. Klar?
25.11.2012, 13:31	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
ja jetzt ist klar. Unsere Funktion strebt gegen 0 und ausschlaggebend dafür ist die stärker gewichtete e-funktion. Gibt es eine Tabelle der Gewichtungen in einer Funktion ? bei einer reinen Polynom-Funktion n-Grades nimmt man, denke ich auch immer das Größere ?!
25.11.2012, 13:42	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Tabelle ist mir jetzt nicht bekannt, aber ja, wenn wir es mit Polynomen zu tun haben, gewinnt der Teil mit der höchsten Potenz . Gut, wir haben ja nun festgestellt, dass wir von +unendlich nach 0 laufen. Unser Minimum (global) ist bei x=0. Unser Wertebereich erstreckt sich also auf die positiven reelen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb R^+ \end{eqnarray}$ .
25.11.2012, 15:14	Huette	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank, hast mir sehr geholfen
25.11.2012, 15:14	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne ,

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