(-1)^n/n

25.11.2012, 11:16

herp

(-1)^n/n

Meine Frage:
Hey smile

Kurze Frage zu Konvergenz/Divergenz..

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n} }{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ ist divergent ..

$\begin{eqnarray*} \frac{1} {n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0..

konvergiert jetzt die Gesamtfolge auch gegen 0, was ja in gewisser Hinsicht logische erscheint...? verwirrt

25.11.2012, 11:18

Huy

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Das tut sie, aber das muss man schon begründen.

MfG

25.11.2012, 11:34

herp

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Nun reicht hier die Argumentation:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (-1)^{n} = \pm 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n=\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^{n} }{n} = \frac{\pm 1}{\infty } =0 \end{eqnarray*}$

?

25.11.2012, 12:09

Huy

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Nein, denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (-1)^n \end{eqnarray*}$ existiert nicht.

MfG

25.11.2012, 12:26

lgrizu

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Ich würde zu einer Fallunterscheidung neigen für gerade und ungerade n.

Oder anders ausgesrückt: Zerlege die Folge in zwei Teilfolgen.

25.11.2012, 13:01

herp

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also so:

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für n gerade

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{-1}{n} \end{eqnarray*}$ für n ungerade

Beide Teilfolgen konvergieren gegn 0.. und daraus lässt sich jetzt schließen, dass das Ganze gegn 0 konvergiert?

25.11.2012, 13:47

lgrizu

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Also beide Grenzwerte existieren und sind gleich.

Nun besagen die Grenzwertsätze oder besser ein Grenzwertsatz (Sorry, Namen vergessen):

Ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to p} a_n=a \end{eqnarray*}$ so konvergiert jede Teilfolge gegen a und andersherum, konvergiert jede Teilfolge gegen a, so konvergiert auch die Folge gegen a.

25.11.2012, 13:52

herp

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danke

25.11.2012, 13:59

Che Netzer

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Zitat:

Original von lgrizu
und andersherum, konvergiert jede Teilfolge gegen a, so konvergiert auch die Folge gegen a.

Die Konvergenz jeder Teilfolge wurde hier doch gar nicht gezeigt...

25.11.2012, 14:22

herp

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dachte ich mir auch schon, dass die andere Richtung nicht so einfach ist... hier gibts noch mehr Teilfolgen nicht?

25.11.2012, 14:38

Iorek

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Streng genommen gibt es natürlich noch mehr Teilfolgen (mir würden unendliche viele einfallen), trotzdem reicht die Betrachtung der Teilfolgen $\begin{eqnarray*} (a_{2n})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_{2n+1})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ in diesem Fall aus, wenn man noch irgendwie den $\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \liminf\limits_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ einbringt.

25.11.2012, 15:09

herp

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und das macht man am besten wie?

25.11.2012, 15:10

Math1986

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Sorry wenn ich mich einmische, aber im Prinzip braucht man hier nicht zwingend die Teilfolgen zu betrachten, es reicht hier, die offensichtliche Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{-1}n\leq\frac{\left(-1\right)^n}n\leq\frac 1n \end{eqnarray*}$ zu verwenden und über das Sandwich-Theorem zu argumentieren.

25.11.2012, 15:18

herp

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ok mit der Herangehensweise kann ich gut leben, danke Augenzwinkern

würd mich aber td interessieren wie ich das mit den Teilfolgen richtig hinbekomme?

25.11.2012, 15:21

Iorek

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Zitat:

Original von Math1986
es reicht hier, die offensichtliche Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{-1}n\leq\frac{\left(-1\right)^n}n\leq\frac 1n \end{eqnarray*}$ zu verwenden und über das Sandwich-Theorem zu argumentieren.

Eben diese Abschätzung braucht man auch für die Argumentation über die Teilfolgen. Da sowohl $\begin{eqnarray*} \frac {-1}n \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ als geeignete Teilfolgen auftreten, kann man damit $\begin{eqnarray*} \liminf,\limsup \end{eqnarray*}$ bestimmen und da diese übereinstimmen konvergiert auch die Folge und es gilt $\begin{eqnarray*} \lim a_n=\liminf a_n=\limsup a_n \end{eqnarray*}$ .

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