Untersuchung auf Asymptoten

Neue Frage »

25.11.2012, 12:00	Adeaphon	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchung auf Asymptoten Ich soll folgende Funktion auf schräge Asymptoten in Abhängigkeit von a untersuchen: a ist Element der reellen Zahlen und f(x) bildet aus den reellen Zahlen außer Betrag von a nach den reellen Zahlen ab. $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{\|ax^3-(1+a^2)x^2\|+ax^3}{x - \|a\|} \end{eqnarray}$ Dabei soll unterscheiden werden für $\begin{eqnarray} x gegen \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x gegen -\infty \end{eqnarray}$ . Meine erste Überlegung war eine Fallunterscheidung für die Beträge. Also bei a größer Null kann ich die Betragszeichen weglassen und bei a kleiner 0 mit einem negativen Vorzeichen den Betrag auflösen. Und nach dem Auflösen des Betrages eines Polynomdivision durchführen. Im ersten Fall, wenn ich den Betrag weglassen und eine Polynomdivision durchführe erhalte ich dies: -x^3 + x^2·a + (x^4 - x^2)/(x - a). Aber für eine Asymptote müsste ich doch eine lineare Funktion herausbekommen, oder? Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?
25.11.2012, 12:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Klammer falsch aufgelöst. Woher kommen die x^4? Dafür ist nirgends ein Grund ersichtlich. In dem Falle, wo sich die 3. Potenz reduziert, ergibt sich nach der Polynomdivision eine lineare Gleichung für die Asymptote. Andernfalls existiert eine Asymptotenkurve 2. Ordnung. mY+
25.11.2012, 13:28	Adeaphon	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Löse ich die Klammer in f(x) auf erhalte ich doch: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{\|ax^3-(1+a^2)x^2\|+ax^3}{x - \|a\|} ->\frac{\|ax^3-x^2-x^2a^2\|+ax^3}{x - \|a\|} \end{eqnarray}$ War meine Überlegung richtig mit der Fallunterscheidung bei den Beträgen? Eine zweite Überlegung ist: f(x) - (px +q) -> 0 Dazu müsste ich mein f(x) durch x Teilen und dies muss gegen eine feste Kontante p (ungleich 0) streben. Daraus folgt, dass ich meine Gleichung abändern muss in: $\begin{eqnarray} \frac{\|ax^3-x^2-x^2a^2\|+ax^3}{x(x - \|a\|)} ->\frac{\|ax^3-x^2-x^2a^2\|+ax^3}{x^2 - x\|a\|} \end{eqnarray}$ oder? Und hier müsste ich untersuchen, ob das Polynom gegen eine bestimmten Grenzwert strebt, oder? Arbeite ich nun mit diesem Polynom weiter und mache mit diesem Zähler und Nenner die Polynomdivision?
25.11.2012, 13:50	Adeaphon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gerade noch etwas an der f(x)/x-Version gerechnet und dies etwas ausgerechnet und bin dabei auf dies gekommen: $\begin{eqnarray} \frac{\|ax^3-x^2-x^2a^2\|+ax^3}{x^2 - x\|a\|} -> \frac{\|-a^2+ax-1\|+ax}{1- \|a\|/x} \end{eqnarray}$ . Und hier müsste ich jetzt sagen können, dass dieses Polynom gegen einen festen Grenzwert läuft. Nur habe ich keine Ahnung wie ich das machen soll.
25.11.2012, 20:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt alles nicht. Es ist ein Fehler, die Funktion durch x zu dividieren. Was man bei Grenzwertberechnungen manchmal tut (wenn es zum Ziel führt), ist, den Zähler UND den Nenner durch x zu dividieren, also wenn entsprechend gekürzt wird. Hier ist aber gar nicht der Grenzwert zu berechnen, er existiert ja ohnehin nicht, sondern wir wollen eventuelle schräge Asymptoten feststellen. Diese existieren nur dann, wenn das Glied mit der 3. Potenz von x wegfällt, also der ganze Term innerhalb der Betragszeichen negativ ist. Der Zähler lautet dann $\begin{eqnarray} x^2(a^2 + 1) \end{eqnarray}$ und nun kann durch Polynomdivision der ganzrationale (lineare) Anteil bestimmt werden, welcher dann auch die Gleichung der Asymptote angibt. mY+
25.11.2012, 21:10	Adeaphon	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Ich habe mich nur an unserem Beispiel orientiert, siehe Anhang. Dort wurde auch das x mit in den Nenner genommen und weiter gerechnet?! Danke für deine Erklärung. Wenn eine Asymptote nur entsteht, wenn der obige Betrag negativ ist, muss ich dann im Umkehrschluss auch den Betrag im Nenner negativ setzen? Wird also der Term dann so aussehen: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x^2(a^2+1)}{x + a} \end{eqnarray}$ Rechne ich auch mit diesem Nenner dann die Polynomdivision durch?
Anzeige

25.11.2012, 22:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Division durch x erfolgte hier im Zuge einer Umformung, d.h. der Divisor x wurde vom rechten Term weggenommen. Das ist natürlich ein zulässiger Vorgang, und womöglich (im Verein mit f(x) - x) ein anderer Trick (?), um letztendlich zu der Gleichung der Asymptote zu kommen. Ob das immer so durchsichtig ist, darüber kann man geteilter Meinung sein. ____________ Der Nenner ist nicht negativ zu machen, weshalb denn? Dort kann man nur unterscheiden, ob a positiv oder negativ ist. Im Falle ist dann einfach durch (x - a) zu dividieren. mY+
25.11.2012, 22:45	Adeaphon	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Ausführung. Ich habe mich mal an die Polynomdivision gestetzt, hoffe dies stimmt soweit: $\begin{eqnarray} x^2(a+1) : x-a = x(a+1)+a(a+1)+\frac{a^2(a+1)}{x-a}= (a+1)(x+a+\frac{a^2}{x - a})<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Den Rest aus der Division kann ich in meiner linearen Funktion der Asymptote vernachlässigen, oder? Demzufolge müsste meine Funktion der Asymptote (a+1)(x+a) sein, oder ausgeschrieben x+ax+a+a^2?
25.11.2012, 23:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt fast, bis auf einen Abschreib- (und Klammerfehler), denn du hast beim a das Quadrat vergessen (und eine Klammer beim Divisor nicht gesetzt): $\begin{eqnarray} x^2(a\color{red}^2 \color{black} + 1) : (x - a) = \ldots \end{eqnarray}$ Die Asymptotet lautet demnach $\begin{eqnarray} y = (a\color{red}^2 \color{black} + 1) \cdot (x + a) \end{eqnarray}$ mY+

Neue Frage »

Antworten »

Untersuchung auf Asymptoten

Verwandte Themen