Bestimmen eines Grenzwertes mit Sandwich-Lemma

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25.11.2012, 15:45	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen eines Grenzwertes mit Sandwich-Lemma Hallo, kann mir hier mal jemand einen Tipp geben wie ich das ganze angehen muss? Bestimmen Sie den Grenzwert der reelen Folge $\begin{eqnarray} (x_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} x:=\sqrt[n]{a^{n} + b^{n} + c^{n} } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b,c \geq 0 \end{eqnarray}$ . Benutzen Sie dazu das Sandwichlemma Ich habe verstanden, dass man zwei Funktionen braucht, die gegen den selben Wert konvergieren und die gegebene Funktion beschränken. Ist das so richtig? Und wie finde ich solche Funktionen? Edit Equester: Lesbarkeit erhöht, in dem Text aus Latexklammern entfernt.
25.11.2012, 15:49	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen eines Grenzwertes mit Sandwich-Lemma Folgen statt Funktionen wäre das richtige Wort. Definiere dir z.B. $\begin{eqnarray} m=\max\{a,b,c\} \end{eqnarray}$ und überlege, welche Abschätzungen du damit machen kannst.
25.11.2012, 17:01	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich komm einfach nicht drauf
25.11.2012, 17:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt z.B., dass $\begin{eqnarray} a\leq m \end{eqnarray}$ .
25.11.2012, 17:35	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... und m ist dann der Limes von $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ ?
25.11.2012, 17:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie kommst du jetzt darauf?
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25.11.2012, 17:56	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich bei eiiner anderen Aufgabe gesehen, die der recht änhlich ist. Aber da war wohl zu beweisen, dass m der Limes ist.
25.11.2012, 17:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, nur weil etwas bei einer anderen Aufgabe ähnlich aussah, muss das ja hier noch nicht gelten Jetzt führe aber ersteinmal eine Abschätzung nach oben durch.
25.11.2012, 18:16	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da hast du recht Also muss ich das irgendwie so formulieren, dass m größer ist als $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{a^{n}+ b^{n} +c^{n} } \end{eqnarray}$ ?
25.11.2012, 18:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jein. Schätze den Term einfach nur nach oben ab und benutze dabei (die Definition von) $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ .
25.11.2012, 18:43	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach oben beschränkt durch 3m? Tut mir leid aber ich glaub ich bin zu dumm dafür. a ist kleiner/gleich m also muss a+b+c kleiner/gleich 3m sein oder?
25.11.2012, 19:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Letzteres stimmt. Und was sagt das über $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \end{eqnarray}$ aus?
25.11.2012, 20:58	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> 3m=\sqrt[n]{(3m)^{n} } \geq \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n} } <br /> \end{eqnarray}$ Meinst du das?
25.11.2012, 21:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungefähr so sollte es aussehen, aber die Abschätzung ist noch falsch (oder besser gesagt: zu stark).
25.11.2012, 21:14	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du, dass noch etwas fehlt? Oder, dass etwas anders formuliert werden muss? Ich danke dir jetzt schonmal, dass du mir so viel hilfst
25.11.2012, 21:46	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie genau bist du denn auf die $\begin{eqnarray} (3m)^n \end{eqnarray}$ gekommen?
25.11.2012, 21:50	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatte ich mir gedacht weil a,b und c ebenfalls eine Potenz haben. a ist ja kleiner als m aber für $\begin{eqnarray} a^{n} \end{eqnarray}$ gilt das ja nicht mehr. Und dann habe ich gemerkt, dass das ja wieder m selber ist. War das falsch?
25.11.2012, 21:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bitte? Weil $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ eine Potenz haben, ist "das" $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ ? [attach]24103[/attach]
25.11.2012, 21:55	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du jetzt warum ich bei der 3m noch die Potenz geschrieben habe oder wie ich überhaupt auf 3m komme?
25.11.2012, 22:30	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher die Potenz bei der Drei kommt, um genau zu sein. Wie sah deine Abschätzung aus?
26.11.2012, 09:05	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe ehrlich gesagt keine Abschätzung. Ich dachte das wäre 3m? Könntest du mir das nicht für die obere Abschätzung zeigen, damit ich mich daran orientieren und die untere abschätzung machen kann?
26.11.2012, 18:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich gebe lieber mal einen weiteren Tipp: Sieh dir nochmal an, woher die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Potenz vom $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ herkam, woher die Drei kommt und wieso die auch einen Exponenten haben sollte.
27.11.2012, 19:14	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich denke ich habe es hin bekommen. Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast.

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