Prüfen ob Teilmenge ein Unterraum ist

25.11.2012, 15:51

dela86

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Prüfen ob Teilmenge ein Unterraum ist

Meine Frage:
Hallo, ich suche einen Ansatz für die beigefügten aufgaben a) sollte reichen [attach]26865[/attach]

Meine Ideen:
Wir haben in der Vorlesung nur mit einer Zahlenpyramide gearbeitet und ich verstehe hier nicht, wie ich das anwenden soll

25.11.2012, 15:55

Che Netzer

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RE: Prüfen ob Teilmenge ein Unterraum ist
Dann liste doch die Anforderungen an Unterräume auf, die ihr in der Vorlesung hattet.
Danach kann man die alle nacheinander durchgehen.

25.11.2012, 15:58

dela86

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1. U enthält den Nullvektor
2.Mit zwei Vektoren u,v element von U enthält U auch deren Summe
3. Mit einem Vektor v element von U enthält U auch alle skalaren Vielfache µv

25.11.2012, 15:59

Che Netzer

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Gut, dann fang doch mal mit a) an:
Enthält $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ den Nullvektor?

25.11.2012, 16:05

dela86

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Ja wenn ich die Matrix mit 0 multipliziere bekomme ich ja 0

25.11.2012, 16:08

Che Netzer

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Das zeigt doch gar nichts...
Du sollst überprüfen, ob die Nullmatrix in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ liegt, d.h. ob sie die angegebene Bedingung erfüllt.

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25.11.2012, 16:17

dela86

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$\begin{eqnarray*} ad+bc\geq0 \end{eqnarray*}$ wenn ich für a,b,c,d die Null einsetze bekomme ich $\begin{eqnarray*} 0+0\geq0 \end{eqnarray*}$ also ist das doch erfüllt

25.11.2012, 16:18

Che Netzer

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Ja, so stimmt es.
Wenn du jetzt zwei Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ hast, ist dann auch $\begin{eqnarray*} A+B\in U_1 \end{eqnarray*}$ ?

25.11.2012, 16:29

dela86

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist U1

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & b \\ c & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist A
+
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist B

wäre das ja wieder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 16:32

Che Netzer

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Nein, du sollst nicht irgendeine Matrix als Summe zweier anderer dastellen:
Wenn die Matrizen $\begin{eqnarray*} A\in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\in U_1 \end{eqnarray*}$ gegeben sind, kann man dann aussagen, dass auch $\begin{eqnarray*} A+B\in U_1 \end{eqnarray*}$ ?

25.11.2012, 16:45

dela86

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wenn in A, B und U1 nur reelle Zahlen enthalten sind muss das doch so sein

25.11.2012, 16:53

dela86

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bzw muss ich ja dann gucken ob die Bedingung noch erfüllt ist

25.11.2012, 17:12

dela86

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ich habe gerade ein schönes Beispiel gefunden http://www.onlinetutorium.com/product_in...&products_id=80

muss das mal eben verinnerlichen und anwenden ;D

25.11.2012, 17:15

Che Netzer

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Zitat:

Original von dela86
wenn in A, B und U1 nur reelle Zahlen enthalten sind muss das doch so sein

Was soll das denn für ein Argument sein?

25.11.2012, 17:37

dela86

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ich komme so nicht weiter , ich muss doch die elemente aus A und B addieren und dann gucken ob A+B ein element von U1 ist. das mache ich doch indem ich die elemente von A+B in die bedingung $\begin{eqnarray*} ab+bc \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ einsetze

25.11.2012, 17:39

Che Netzer

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Das wäre ein Ansatz.
Schreibe dazu z.B.
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}a_A&b_A\\c_A&d_A\end{pmatrix}&B&=\begin{pmatrix}a_B&b_B\\c_B&d_B\end{pmatrix}\,.\end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 17:44

dela86

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ja das habe ich und dann hab ich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_A+a_B \end{eqnarray*}$ usw in die bedingung eingesetzt

25.11.2012, 17:46

Che Netzer

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Die Gleichung da ergibt nicht viel Sinn.
Naja, welche Bedingung für die acht Koeffizienten müsste denn erfüllt sein, damit $\begin{eqnarray*} A+B \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ liegt.
Und ist sie das?
Wenn ja, beweise das.
Wenn nein, suche ein Gegenbeispiel.

25.11.2012, 17:55

dela86

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$\begin{eqnarray*} ad+bc \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist doch die bedingung

25.11.2012, 17:56

Che Netzer

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Ja, und in diesem speziellen Fall ist $\begin{eqnarray*} a=a_A+a_B \end{eqnarray*}$ .
Multipliziere das ganze mal aus.

25.11.2012, 17:57

dela86

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$\begin{eqnarray*} ( a_A + a_B )(d_A + d_B ) + ( b_A + b_B )( c_A + c_B ) \geq 0 \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 17:59

dela86

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du verwirrst mich, was du da gerade geschrieben hast steht doch schon weiter oben

25.11.2012, 18:00

Che Netzer

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Ja, so sieht die Bedingung aus.
Und jetzt multipliziere die ganzen Faktoren aus und wende die Voraussetzung an (nämlich dass die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ erfüllt ist).

25.11.2012, 18:10

dela86

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$\begin{eqnarray*} a_A d_A + a_A d_B + a_B d_A + a_B d_B + b_A c_A + b_A c_B + b_B c_A + b_B c_B \geq 0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a_A d_A + b_A c_A \geq 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} a_B d_B + b_B c_B \geq 0 \end{eqnarray*}$

und jetzt? da bleibt ja noch was übrig

25.11.2012, 18:10

dela86

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ich kann ja in der Bedinung die beiden unteren einsetzen

25.11.2012, 18:11

Che Netzer

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Ja, übrig bleibt
$\begin{eqnarray*} a_Ad_B+a_Bd_A+b_Ac_B+b_Bc_A\geq0\,. \end{eqnarray*}$
Würdest du vermuten, dass das trotzdem gilt?

25.11.2012, 18:13

dela86

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ja vermuten schon aber wie soll ich das denn zeigen

25.11.2012, 18:15

Che Netzer

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Tja, die Vermutung ist leider falsch smile

smile

Wieso sollte denn die übriggebliebene Ungleichung gelten, wenn man nichts darüber weiß?

25.11.2012, 18:17

dela86

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achso ja

Hammer

hehe mensch, also habe ich damit bewiesen, dass es kein Unterraum sein muss ( wenn man jetzt mit Zahlen gerechnet hätte wäre es ja theoretisch schon möglich)

25.11.2012, 18:19

Che Netzer

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Nein, du hast noch nichts bewiesen.
Dass diese Ungleichung nicht gilt, war ja nur eine Vermutung.
Suche als ein Gegenbeispiel, also zwei Matrizen in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , deren Summe nicht in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ liegt.

25.11.2012, 18:24

dela86

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hmm

verwirrt

wie mache ich das denn unglücklich

unglücklich

25.11.2012, 18:25

Che Netzer

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Überlege dir etwas.
Tipp: Es könnte hilfreich sein, die $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ - und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ -Terme auf Null zu setzen.

25.11.2012, 18:31

dela86

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$\begin{eqnarray*} A+B = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_A + a_B & 0 \\ 0 & d_A + d_B \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

meinst du das?

25.11.2012, 18:33

Che Netzer

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Ja. Und jetzt bestimme die Koeffizienten so, dass zwar $\begin{eqnarray*} A\in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\in U_1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} A+B\notin U_1 \end{eqnarray*}$ .

25.11.2012, 18:40

dela86

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wenn $\begin{eqnarray*} a_A und a_B \end{eqnarray*}$ negativ wären ware die bedingung $\begin{eqnarray*} ad + bc \geq 0 \end{eqnarray*}$ ja nicht erfüllt

25.11.2012, 18:41

dela86

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und $\begin{eqnarray*} d_A und d_B \end{eqnarray*}$ müssten positiv sein

25.11.2012, 18:44

dela86

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ne das ist quatsch oder

25.11.2012, 18:52

dela86

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ja das ist qutasch^^

25.11.2012, 18:57

dela86

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komm nicht drauf was ich jetzt machen muss Forum Kloppe

Forum Kloppe

25.11.2012, 19:24

dela86

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traurig

ich krieg das nicht hin dass A und B ein element aus U1 sind aber A+B nichtmehr
kannst du mir noch einen Hinweis geben?

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