Elementare Zahlentheorie

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Hubert K. Auf diesen Beitrag antworten »
Elementare Zahlentheorie
Meine Frage:
Hallo,

ich stehe gerade vor einem Beweisproblem in Zahlentheorie:

Es soll folgendes gezeigt werden: Für n>4 teilt n genau dann die Zahl (n-1)!, wenn n keine Primzahl ist.

Meine Ideen:
Mit einem Zahlenbeispiel ist das logisch:

z.B.
n ist keine Primzahl:
n=6
(n-1)! ist dann 5! = 120
und 6 teilt 120

n ist Primzahl:
n=5
(n-1)! ist dann 4! = 24
und 5 teilt 24 nicht!


Aber wie beweist man das Ganze allgemein?
Rambo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn n keine Primzahl ist, so lässt sich n als Produkt von Primzahlen darstellen, die alle kleiner n sind. Diese sind aber dann auch in (n-1)! enthalten...
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rambo
Wenn n keine Primzahl ist, so lässt sich n als Produkt von Primzahlen darstellen, die alle kleiner n sind. Diese sind aber dann auch in (n-1)! enthalten...

Hm, ganz so einfach kann es nicht sein, denn 4 ist keine Primzahl und Produkt von Primzahlen < 4, trotzdem ist 4 nicht in (4-1)! enthalten... verwirrt
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Zitat:
Original von Rambo
Wenn n keine Primzahl ist, so lässt sich n als Produkt von Primzahlen darstellen, die alle kleiner n sind. Diese sind aber dann auch in (n-1)! enthalten...

Hm, ganz so einfach kann es nicht sein, denn 4 ist keine Primzahl und Produkt von Primzahlen < 4, trotzdem ist 4 nicht in (4-1)! enthalten... verwirrt
Nach obiger Voraussetzung ist aber n>4
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Nach obiger Voraussetzung ist aber n>4

Das weiß ich natürlich, aber es ist hier kein Gegenargument, denn ich verwende ja nur Dinge, die auch in Rambo's Beweisführung tatsächlich vorkommen... Wenn es also Gegenbeispiele gibt, so wie hier n=4, dann ist sein "Gedankengang" offensichtlich nicht in Ordnung bzw. muss noch verfeinert werden...
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es denn auch Gegenbeispiele für n>4?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Gibt es denn auch Gegenbeispiele für n>4?

Die gibt es natürlich nicht, denn sonst wäre ja die Behauptung falsch um die es hier geht...

Schauen wir uns doch nochmals Wort für Wort an, was Rambo oben geschrieben hat, nämlich

Zitat:
Original von Rambo
Wenn n keine Primzahl ist, so lässt sich n als Produkt von Primzahlen darstellen, die alle kleiner n sind. Diese sind aber dann auch in (n-1)! enthalten...

Es reicht eben nicht aus, dass diese Primfaktoren in (n-1)! nur "enthalten" sind, sie müssen auch in ausreichender Vielfachheit darin enthalten sein... Im Fall n=4 sieht man das eben sehr schön: 2 ist in n mit der Vielfachheit 2 enthalten, in (n-1)! aber nur mit Vilefachheit 1, daher funktioniert es auch für n=4 nicht...

Und bitte jetzt nicht sagen: Ja, aber n=4 hatten wir doch oben definitiv ausgeschlossen... Es geht eben darum zeigen, dass das "Problem", welches man für n=4 hat, für n>4 prinzipiell nicht mehr auftreten kann... Das ist jetzt nicht wirklich schwer, man kann aber andererseits auch nicht stillschweigend darüber hinweggehen... geschockt
Rambo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gestehe ein, dass meine Behauptung für n=4 nicht stimmt. Aber ich denke, es ist auch Aufgabe des Fragestellers, zu ergründen, warum diese Behauptung erst ab n>4 gilt. Ich wollte zunächst nur einen kurzen Denkanstoss geben.

PS: Ich bin erstmal happy, dass ihr mit dem Ansatz einverstanden seidAugenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, obwohl ich persönlich eine Fallunterscheidung nach dem kleinsten Primfaktor p von n vorgezogen hätte, nämlich so:

1. Fall: p=n, d.h., n ist prim

Hier muss man die Annahme, dass n|(n-1)! gilt, auf einen Widerspruch führen.

2.Fall: p<n/p

Hier gilt klarerweise n|(n-1)!, da ja p und n/p explizit unter den Faktoren 2,3,...,n-1 von (n-1)! vorkommen.

3. Fall: p=n/p, d.h., n=p²

Hier braucht man, dass nicht nur p, sondern auch 2p unter den Faktoren 2,3,..,n-1 von (n-1)! vorkommt, falls n>4 ist.
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