Indexverschiebung

25.11.2012, 17:59

Vrenerl

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Indexverschiebung

Meine Frage:
ICh soll hier den Ausdruck vervollständigen. Die Induktion im allgemeinen is klar, aber ich hab keine Ahnung, wie ich hier auf diese 'Platzhalter=?' kommen soll... unglücklich

unglücklich

Siehe Bild-Anhang;

Meine Ideen:
Bei meinen eigenen Ansätzen komme ich auf einen ganz anderen Endwert, als den vorgegeben und ich weiss nicht, wie ich ausgehend von dieser 5 auf den Rest komme unglücklich

unglücklich

(

25.11.2012, 18:20

Cheftheoretiker

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RE: Indexverschiebung
Hi,

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=3}^9 (k-1) \end{eqnarray*}$ soll nun bis $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ laufen. Das heißt, du musst im Startindex noch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ abziehen und bei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ dazu addieren. smile

smile

25.11.2012, 18:25

Vrenerl

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RE: Indexverschiebung
Das heißt, ich hab dann dastehen:
\sum\limits_{k=-1}^n k+4
??
Ist das alles? mehr muss ich da nich machen? Funktioniert dass dann immer auf diese (eigentlich doch ja recht einfache) Weise?

25.11.2012, 18:27

Cheftheoretiker

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RE: Indexverschiebung
Also das stimmt so nicht. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-1}^n k+4 \end{eqnarray*}$

Der Startindex ist richtig und es läuft nicht bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sondern bis $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist auch nicht korrekt.

Was ist denn $\begin{eqnarray*} (k-1+4) \end{eqnarray*}$ ? smile

smile

25.11.2012, 18:36

Vrenerl

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RE: Indexverschiebung
ähm ja LOL Hammer

LOL Hammer

das wären dann wohl k+3
Hammer

Hammer

25.11.2012, 18:47

Vrenerl

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RE: Indexverschiebung
und was mache ich dann wenn ich nur den Startindex gegeben habe?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=6}^n (8-k) \end{eqnarray*}$ -> mein n ist hier 24
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^? ? \end{eqnarray*}$

ist dann mein neues n= 18
und (2-k) oder (7-k) ??
mich verwirrt das ganze total unglücklich

unglücklich

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25.11.2012, 19:19

Cheftheoretiker

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RE: Indexverschiebung
Du ziehst bei dem Startindex $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ ab dann musst du es bei dem letzten Index auch machen. $\begin{eqnarray*} (8-k) \end{eqnarray*}$ und hier müssen wieder $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ auf addiert werden. smile

smile

25.11.2012, 19:25

Vrenerl

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RE: Indexverschiebung
-> $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^19 (13-k) \end{eqnarray*}$
(also die '9' muss noch links hoch) Augenzwinkern

Augenzwinkern

so?

25.11.2012, 19:52

Cheftheoretiker

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RE: Indexverschiebung
Ah, also du meinst $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=6}^{24} (8-k) \end{eqnarray*}$ oder wie? verwirrt

verwirrt

und die neue Summe soll von k=1 laufen?

Dann sieht es wie folgt aus: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{24-5}(8-(k+5)) \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 20:01

Vrenerl

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RE: Indexverschiebung
Also Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich habe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=6}^24 (8-k ) \end{eqnarray*}$ ( die 4 gehört sich noch nach oben, also 24)
und das soll
= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^? ? \end{eqnarray*}$
sein
ich soll wieder die Fragezeichen ergänzen

und dann hab ich gedacht, es wäre
<=> $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^19 (13-k) \end{eqnarray*}$ (die 9 nach oben, also 19)

25.11.2012, 20:35

Cheftheoretiker

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RE: Indexverschiebung
Um die Zahl über dem Sigma zu schreiben musst du es in Klammern setzen ^{19}. Der Start und der End-Laufindex ist schonmal korrekt.

Nun zu a_n=(8-k). Du musst es für dein k einsetzen. Also (k+5) einsetzen für k. Anschließend ausrechnen. smile

smile

25.11.2012, 20:56

Vrenerl

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RE: Indexverschiebung
demnach k-3? Forum Kloppe

Forum Kloppe

25.11.2012, 21:01

Cheftheoretiker

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RE: Indexverschiebung
So muss es aussehen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{24-5}(8-(k+5)) \end{eqnarray*}$

ausrechnen darfst du nun alleine.

25.11.2012, 21:11

Vrenerl

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RE: Indexverschiebung
ja das mit dem Endwert 19 hatte ich ja vorhin schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

das mit dem k war nur noch unklar(dass ich dort einsetzen muss)

Bei mir sieht das jedenfalls jetzt so aus:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{19} k -3 \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 21:24

Cheftheoretiker

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RE: Indexverschiebung

Zitat:

Bei mir sieht das jedenfalls jetzt so aus:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{19} k -3 \end{eqnarray*}$

Das ist falsch!

$\begin{eqnarray*} 8-(k+5) \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} k-3. \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 21:29

Vrenerl

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RE: Indexverschiebung
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{19} -k+3 \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 21:31

Vrenerl

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{19} -k+3 \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 21:32

Cheftheoretiker

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Jap, jetzt ist es richtig. smile

smile

25.11.2012, 21:38

Vrenerl

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Hammer

des war ne schwere Geburt verwirrt

verwirrt

Hatte da jetzt wohl wirklich ein Brett vorm Kopf
Herzlichen Dank für die nette Hilfe!!

25.11.2012, 21:40

Cheftheoretiker

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Keine Ursache. smile

smile

CT

26.11.2012, 09:42

Vrenerl

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RE: Indexverschiebung
und schon wieder ich...und hänge schon wieder beim Üben fest...:/ wäre nett, wenn jmd. diese 3 aufgaben noch prüfen könnte bzw. helfen.
also erstmal Frage 1:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=9}^{97} \frac{1}{k+3} \end{eqnarray*}$
soll
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=?}^? \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
werden.
Mein Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=6}^{94} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Habe praktisch die 3 abgezogen, aber darf ich das hier mit dem Bruch überhaupt so machen? verwirrt

verwirrt

26.11.2012, 10:05

HAL 9000

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RE: Indexverschiebung
Nein. Schau dir doch einfach an, wie erster und letzter Summand der Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=9}^{97} \frac{1}{k+3} \end{eqnarray*}$ aussehen:

Für $\begin{eqnarray*} k=9 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+3} = \frac{1}{9+3} = \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ , und für $\begin{eqnarray*} k=97 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+3} = \frac{1}{97+3} = \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$ .

Solche Überlegungen sind jedenfalls besser als derartige "50%-Ratereien" (nach oben oder unten), wie du sie anscheinend praktizierst.

26.11.2012, 10:18

Vrenerl

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RE: Indexverschiebung
ich hatte es eigentlich nur nach dem Schema von gestern versucht, wobei die Zahl jeweils addiert wurde...und nicht 'derartig' rum geraten. unglücklich

unglücklich

Ich entschuldige mich für die gestellte Frage.

26.11.2012, 10:33

HAL 9000

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Ok, dann war es keine Raterei, sondern eine unzulässige Analogiebetrachtung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht hilft es, die subtituierte Indexvariable zunächst (oder auch überhaupt) anders zu bezeichnen: Hier wäre das Substitution $\begin{eqnarray*} j=k+3 \end{eqnarray*}$ , womit die Grenzen unten wie oben derselben Substitution unterzogen werden.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=9}^{97} \frac{1}{k+3} = \sum\limits_{j=9+3}^{97+3} \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$

26.11.2012, 10:38

Vrenerl

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Danke
Das heißt, da ich vorher den Audruck '+3' dastehen hatte,
muss ich nun, da dieser Ausdruck ja nun nicht mehr vorhanden ist in 1/k,
mein '+3' zur oberen und unteren Grenze hinzufügen?
Zum Verständnis: wenn der Ausdruck '-3' gewesen wäre, müsste ich '-3' auch von den Grenzen abziehen?

26.11.2012, 11:12

Vrenerl

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Nun habe ich noch:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=4}^{15}(k²+3k-2) \end{eqnarray*}$

was zu:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^ ? (?) \end{eqnarray*}$
werden soll
zu k bzw j: 4-1= 3
dann ziehe ich von der oberen Grenze 15 drei ab und erhalte als neue obere Grenze 12.
in mein (k²+3k-2) setze ich für k = (k+3) ein
und erhalte dann: (k²+3k+16)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{12} (k ²+3k+16) \end{eqnarray*}$

ist das korrekt?

26.11.2012, 11:26

HAL 9000

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Bleiben wir mal bei meinem Ratschlag, zunächst eine andere Variablenbezeichnung einzuführen: Wir gehen von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} j=k-3 \end{eqnarray*}$ über, die Summe wird zu $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{12} \end{eqnarray*}$ - soweit ist das erstmal richtig bei dir.

Im Summanden hast du dich aber völlig verhauen: $\begin{eqnarray*} j=k-3 \end{eqnarray*}$ bedeutet umgestellt $\begin{eqnarray*} k=j+3 \end{eqnarray*}$ , und jedes Auftreten von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist entsprechend durch $\begin{eqnarray*} (j+3) \end{eqnarray*}$ zu ersetzen, d.h., wir haben letztendlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{12} ((j+3)^2+3(j+3)-2) \end{eqnarray*}$ ,

das kannst du jetzt innerhalb des Summanden noch ausmultiplizieren, wenn du das willst.

26.11.2012, 11:34

Vrenerl

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oh je, ja das hatte ich falsch verstanden. aber jetzt machts Sinn smile

smile

26.11.2012, 11:49

Vrenerl

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ich habe noch eine letzte:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{20} 5^{2k+7} \end{eqnarray*}$

soll zu:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=?}^{24} 5^{k+?} \end{eqnarray*}$
werden.

k sei j ;

Die Differenz zwischen 20 und 24 rechne ich bei meiner neuen unteren Grenze hinzu und erhalte:
j=5

Dann habe ich noch den Ausdruck $\begin{eqnarray*} 5^{j+?} \end{eqnarray*}$
j= k+4, dann ist k=j-4, stimmt das soweit?

jetzt habe ich aber ja nur das, was ich für k einsetzen soll, der Ausdruck lautet aber ja k+?
wie komme ich auf das ? ?

26.11.2012, 11:53

HAL 9000

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Naja, $\begin{eqnarray*} k=j-4 \end{eqnarray*}$ einsetzen ergibt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{20} 5^{2k+7} = \sum_{j=5}^{24} 5^{2(j-4)+7} = \sum_{j=5}^{24} 5^{2j-1} \end{eqnarray*}$ .

Das müssen doch langsam genug Beispiele sein, dass die Methode erkennbar ist.

26.11.2012, 12:00

Vrenerl

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Woher haben Sie denn jetzt die +7?
Die habe ich doch nur in der Ursprünglichen Form?

Das mit dem einsetzten ist ja jetzt endlich soweit klar. Aber hier muss ich ja noch +? rechnen.
Sie nehmen hier jetzt die 7, aber die habe ich doch gar nicht gegeben?!

26.11.2012, 12:02

Vrenerl

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und das ²? es darf ja nur noch 5k+? dortstehen bzw eben 5j+?

26.11.2012, 13:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Vrenerl
Woher haben Sie denn jetzt die +7?

[...]

Sie nehmen hier jetzt die 7, aber die habe ich doch gar nicht gegeben?!

Was ist das denn jetzt wieder für ein unlogisches Gefasel??? Steht da nun ursprünglich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{20} 5^{2k+{\color{red}7}} \end{eqnarray*}$

oder steht das nicht das? Forum Kloppe

Forum Kloppe

26.11.2012, 13:17

Vrenerl

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Ich hab doch nur noch
$\begin{eqnarray*} 5^{k+?} \end{eqnarray*}$
und nicht mehr
$\begin{eqnarray*} 5^{2k+7} \end{eqnarray*}$
Warum nimmt man sich denn dann die 2 und die 7 aus dem ersten Term?

26.11.2012, 13:32

Vrenerl

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Entschuldigung, jetzt hab ichs.
es war ein Fehler in der Aufgabe(ausnahmsweise nicht meine Schuld)! Es sollte nicht
$\begin{eqnarray*} 5^{k+?} \end{eqnarray*}$
heissen
sondern
$\begin{eqnarray*} 5^{2k+?} \end{eqnarray*}$
und dann ergibt das ja auch Sinn, weil ich meine '2' wieder hab, so wie sie es auch gerechnet haben.
Herzlichen Dank für die Hilfe!!

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