Vereinfachen von Summenformel - Seite 2

26.11.2012, 17:19

Vrenerl

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tut mir leid, jetzt versteh ich gar nichts mehr. Ich dachte ich soll die summen voneinander abziehen
dann bleibt nur der letzte summand der ersten summe stehen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\sum\limits_{i=1}^? \end{eqnarray*}$

n+1-n war für mich eigentlich 1; aber das ist falsch; n ist allgemein, aber ebenso falsch; i, auch ....
ich kann doch nicht n+1 dort stehen lassen, ich hab ja n abgezogen?!
ich glaub das wird nichts mehr bei mir...mir is das jetzt schon voll peinlich; aber ich seh das einfach nich

26.11.2012, 17:29

HAL 9000

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Bevor Kasen75 einen Schreikrampf kriegt, wage ich trotz meiner bescheidenen didaktischen Fähigkeiten mal kurz eine (hoffentliche) Entlastung:

In $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ wird über die Indizes $\begin{eqnarray*} 1,2,3,\ldots,n,n+1 \end{eqnarray*}$ summiert, in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$ hingegen über die Indizes $\begin{eqnarray*} 1,2,3,\ldots,n \end{eqnarray*}$ summiert.

Preisfrage: Welcher Summand ist in der ersten Summe enthalten, der nicht in der zweiten Summe ist:

A) Der Summand für Index $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

B) Der Summand für Index $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ .

Du behauptest steif und fest, Antwort A) sei richtig. Bist du dir da wirklich völlig sicher?

26.11.2012, 17:33

Vrenerl

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ja ist ok n+1

26.11.2012, 17:33

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Preisfrage: Welcher Summand ist in der ersten Summe enthalten, der nicht in der zweiten Summe ist:

A) Der Summand für Index $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

B) Der Summand für Index $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ .

@ HAL 9000

Du hast das Prinzip von "Wer wird Millionär?" nicht verstanden. unglücklich

unglücklich

Du mußt insgesamt vier Antworten vorgeben. Ich ergänze das mal:

C) alle Summanden

D) Kanada

26.11.2012, 17:35

HAL 9000

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@Leopold

Na dann werde ich mich mal versuchen zu bessern. Aber ich werde nicht versprechen, mehr Privatfernsehen zu konsumieren. Big Laugh

Big Laugh

@Kasen75

Ich hoffe, du verzeihst die Störung - bin auch schon wieder weg.

26.11.2012, 17:35

Kasen75

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Zitat:

Ich dachte ich soll die summen voneinander abziehen
dann bleibt nur der letzte summand der ersten summe stehen

Das ist absolut richtig. Freude

Freude

Die erste Summe sieht ja wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i}=\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} + \textcolor{blue}{\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray*}$

Für den letzten Summanden habe ich für i die obere Grenze (n+1) in den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

Die zweite Summe sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} \frac{1}{j}=\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt die zweite Summe von der ersten abzieht bleibt nur noch der blaue Ausdruck übrig.

Ich hoffe die ausführliche Darstellung macht die Sache klarer. smile

smile

@ Hal 9000
Ich bin ganz ruhig und gelassen.

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26.11.2012, 18:02

Vrenerl

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Herzlichen Dank für die ganze Hilfe
Werde in Zukunft nicht mehr so viel fragen

26.11.2012, 18:30

Kasen75

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Du kannst gerne soviel fragen wie du willst. Das ist ja der Sinn dieses Boards.
Lass dich nicht von Kommentaren wie von Leopold abschrecken. Er scheint irgendwie ein Scherzbold zu sein.

Du kannst ja die Aufgabe erstmal sacken lassen. Zur Vollsändigkeit: Das Ergbebnis ist letztendlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Zum Vergleich kannst du einmal über den Ausdruck mit den Summen und der obigen Formel für z.B. n=5 einen bestimmten Wert ausrechnen. Es sollte das Gleiche rauskommen.

Wenn du die 3. Aufgabe noch machen willst, dann kannst du gerne morgen schon mal einen Vorschlag machen, was man z.B. mit der 5 machen kann oder eine Vorschlag zuz einer möglichen Indexverschiebung machen.

Und denke immer daran: You are Willkommen

Willkommen

Grüße.

26.11.2012, 21:13

Vrenerl

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Danke

26.11.2012, 21:45

Kasen75

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Gerne. Vielleicht bis morgen. Würde mich freuen.

Grüße. Wink

Wink

27.11.2012, 06:09

Vrenerl

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Guten morgen! smile

smile

Auf ein neues.... verwirrt

verwirrt

gegeben: $\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{i=1}^n 5*2^{i} }{\sum\limits_{i=3}^{n+2} 2^{i-1} } \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{j=3}^{n+2} 5*2^{j-2} }{\sum\limits_{j=3}^{n+2} 2^{i-1} } \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=3}^{n+2}\frac{10^{j-2} }{2^{i-1} } \end{eqnarray*}$

Bis dahin sollte das jetzt (hoffenltich mal :haue smile

smile

korrekt sein.

27.11.2012, 09:03

Kasen75

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Guten Morgen,

bis dahin gehe ich mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{j=3}^{n+2} 5*2^{j-2} }{\sum\limits_{j=3}^{n+2} 2^{i-1} } \end{eqnarray*}$

Somit ist deine Indexverschiebung richtig. Freude

Freude

Den Faktor 5 hätte ich einfach vor das Summenzeichen gezogen. Das ist möglich, weil der Faktor 5 kein Index besitzt und somit unabhängig vom Index ist.
Die 5 mit der 2 zu multiplizieren und mit (j-2) zu potenzieren führt dagegen zu ganz anderen Ergebnissen.

Somit hat man dastehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{5 \cdot \sum\limits_{j=3}^{n+2} 2^{j-2} }{\sum\limits_{j=3}^{n+2} 2^{i-1} } \end{eqnarray*}$

Um jetzt zu sehen was die Summen konkret ergeben, ist es günstig für n=3 die Summen einfach mal auszurechnen.

Summe des Zählers für n=3:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=3}^{n+2} 2^{j-2}= \sum\limits_{j=3}^{3+2} 2^{j-2}= \sum\limits_{j=3}^{5} 2^{j-2}= \ldots \end{eqnarray*}$

Summe des Nenners für n=3:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=3}^{n+2} 2^{i-1} =\sum\limits_{j=3}^{3+2} 2^{i-1} =\sum\limits_{j=3}^{5} 2^{i-1} = \ldots \end{eqnarray*}$

Grüße.

27.11.2012, 09:11

Vrenerl

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Achso! Wenn ich eine Zahl ohne Index hab(auch wenn die wiederum mit einer Zahl mit Index durch '*' verbunden ist), dann darf ich die vor das Summenzeichen ziehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

gut zu wissen; danke smile

smile

Wenn ich beide Summen ausrechne, erhalte ich für den Zähler: 14 / den Nenner: 28
(was gekürzt doch dann 1/2 ergibt)

27.11.2012, 09:19

Kasen75

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Perfekt.

Freude

Allgemein gilt somit:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \sum\limits_{j=3}^{n+2} 2^{j-2} }{\sum\limits_{j=3}^{n+2} 2^{i-1} }=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt den Faktor 5 im Zähler mit berücksichtigt, was ergibt sich als Endergebnis?

$\begin{eqnarray*} \frac{5 \cdot \sum\limits_{j=3}^{n+2} 2^{j-2} }{\sum\limits_{j=3}^{n+2} 2^{i-1} }= \ldots \end{eqnarray*}$

27.11.2012, 09:25

Vrenerl

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$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} 2\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5*\sum\limits_{j=3}^{n+2} 2j-2 }{\sum\limits_{j=3}^{n+2} 2i-2 } = 2\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

27.11.2012, 09:26

Kasen75

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Und schon ist die Aufgabe gelöst. smile

smile

Edit: Du solltest vielleicht noch die Indizes in die Potenz nehmen.

27.11.2012, 09:28

Vrenerl

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Prost

Jucheeee

Augenzwinkern

Herzlichen Dank!!

27.11.2012, 09:31

Kasen75

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Gerne. Das mit der Indexverschiebung hast du auf jeden Fall schon sehr gut hinbekommen.

27.11.2012, 09:33

Vrenerl

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das sollte jetzt auch langsam in meinen Kopf rein Augenzwinkern

Augenzwinkern

da ist HAL9000 schon wahnsinnig geworden mit mir Augenzwinkern

Augenzwinkern

Einen schönen Tag Dir!

27.11.2012, 09:39

Kasen75

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Wünsche ich Dir auch.

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