Vereinfachen von Summenformel

25.11.2012, 19:23

Vrenerl

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Vereinfachen von Summenformel

Meine Frage:
Ich habe eine Summenformel gegeben und weiß aber nicht wie man so etwas noch 'vereinfachen' soll
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n+1 (i²+1) -\sum\limits_{k=1}^n k²-(\sum\limits_{i=1}^n 2i-\sum\limits_{j=0}^n 2j) \end{eqnarray*}$

->wobei beim ersten Term das '+1' noch oben zum ersten 'n' gehört!

Meine Ideen:
ich hab mal versucht, das ganze aufzudröseln, aber das hilft ja auch nichts...
(1²+1...n²+1+1)-(1²+....n²)-((2*1+2*2+...+2*n)-(2^0+2^1+....+2^n))
was soll man denn da wie vereinfachen...? unglücklich

unglücklich

25.11.2012, 19:42

Kasen75

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Hallo,

du solltest mal lieber die Ausdrücke hinter den Summen aufdröseln:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i²+ \sum\limits_{i=1}^{n+1} 1 -\sum\limits_{k=1}^n k²-\sum\limits_{i=1}^n 2i+\sum\limits_{j=0}^n 2j \end{eqnarray*}$

Die zweite Summe lässt sich leicht berechnen.

Bei den letzten beiden Summen kann man noch den Faktor 2 vor die Summe ziehen. Wichtiger ist jedoch zu schauen, wie sich diese Ausdrücke unterscheiden, wenn man sie ausrechnet. Ich würde mal für n = 3 beide Summen ausrechnen.

Bin jetzt mal kurz (30 Min) weg. Kann gerne jemand anders weiter machen.

Mit freundlichen Grüßen.

25.11.2012, 19:56

Vrenerl

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Wenn ich die letzten beiden ausrechne für n=3 bzw beliebige Zahl
dann erhalte ich im Endeffekt das Gleiche, da bei j=0 ja 2*0=0 rauskommt
kann man dann einfach schreiben
$\begin{eqnarray*} ...-2*\sum\limits_{i=1}^n 2i \end{eqnarray*}$
also mal 2 nehmen und den Term mit j ganz wegfallen lassen?

25.11.2012, 20:17

Kasen75

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Nicht ganz. Es ist so gar noch einfacher.

Schau dir mal die Vorzeichen an.

In gleicher Weise, kannst du mit dem ersten und dritten Summenzeichen verfahren.

Das erste Summenzeichen hat ja nur einen Summanden mehr.

Das zweite Summenzeichen hast du hoffenlich schon bestimmt. smile

smile

25.11.2012, 20:21

Vrenerl

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Also nochmal;
die letzten beiden fallen weg
1 und 3 fallen weg
und zwei, da bleibt nur eine 1 stehen?!
oh jeeee

25.11.2012, 20:26

Kasen75

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Zitat:

die letzten beiden fallen weg

Das ist korrekt. Freude

Freude

Zitat:

1 und 3 fallen weg

Nicht ganz. Die Grenze des ersten Summenzeichen ist ja um 1 größer.

Zitat:

und zwei, da bleibt nur eine 1 stehen?!

Da musst du schon die Summe bilden.

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25.11.2012, 20:31

Vrenerl

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zwei: n+1 = 1+1 = 2

eins und drei: (1²...+n²+1)-(1²...n²) = (n²+1)-n² = 1

zwei, drei, eins : 2+1 => 3
?
sorry dass ich so grottenschlecht bin in mathe ^^ ich steh da immer aufm schlauch unglücklich

unglücklich

25.11.2012, 20:43

Kasen75

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Bleiben wir erstmal beim zweiten Summenzeichen:

Hier wird (n+1)-mal die 1 summiert.

Das heißt dann was?

25.11.2012, 20:49

Vrenerl

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n+2

25.11.2012, 20:57

Kasen75

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Leider nicht. Du bist aber nah dran.

Es wird (n+1)-mal 1 summiert: 1+1+...+1+1

Spiele es doch mal mit n=5 bzw. (n+1)=6 durch.

25.11.2012, 21:03

Vrenerl

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ja aber ich hab ja nix für n und n wird immer +1 größer sein
also bleibt das n+1? das ist doch eigentlich dann unendlich, solange ich nix hab für n unglücklich

unglücklich

25.11.2012, 21:17

Kasen75

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Solange du für n keinen konkreten Wert hast, kannst du es in der Tat nicht konkret berechnen. Das hier stimmt aber: n+1 ist richtig.

Du addierst (n+1)-mal die 1.

Wie gesagt du kannst es mal versuchen mit einem konkreten n bzw. (n+1) nachzuvollziehen.

Die erste und dritte Summe sind ja praktisch gleich. Nur der letzte Summand der ersten Summe nunterscheidet die beiden Summenausdrücke.

Wenn man jetzt die erste Summe von der zweiten abzieht, bleibt nur noch der letzte Summand der ersten Summe übrig:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i² -\sum\limits_{k=1}^n k²=\ldots \end{eqnarray*}$

Was ist der letzte Summand des ersten Summe?

25.11.2012, 21:25

Vrenerl

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ich glaub jetzt blick ich gar nichts mehr, sorry

Wenn ich nun alles vereinfache habe ich doch dastehen
(die letzten 2 sind weggefallen) 2(aus der zweiten) + (n+1)+1(aus eins und drei)
2+ ((n+1)+1)
also 4+n
traurig

traurig

25.11.2012, 21:38

Kasen75

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Da gab es ein Missverständnis. Wir haben die anderen Summen bereits bestimmt.

Mit ging es nur um die Summen 1 und 3.

Ich fasse noch mal kurz die bisherigen Ergebnisse zusammen:

zweite summe: n+1

4. und 5. Summe (addiert): 0

Die erste und dritte Summe sind ja im Prinzip identisch. Sie haben fast die gleichen Grenzen. Also muss man nur den letzten Summand der ersten Summe berechnen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i² -\sum\limits_{k=1}^n k²=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Die anderen Summanden neutralisieren sich gegenseitig. z.B. der jeweils erste Summmand: 1-1=0

25.11.2012, 21:41

Vrenerl

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Wird jetzt praktisch nur das ergebnis von 2 eingesetzt?

sodass gesamt nur (n+1)² rauskommt? und das Quadrat hab ich vom ersten Summanden?

25.11.2012, 21:57

Kasen75

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Schon wieder ein Missverständnis.

Das Ergebnis ist nur das Ergebnis von den Summenausdrücken 1 und 3. Das Ergebnis von dem Summenausdruck 2 spielt hier keine Rolle.

Kannst du das denn jetzt nachvollziehen (1. und 3. Summe):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i² -\sum\limits_{k=1}^n k²=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Die anderen beiden Ergebnisse habe ich ja bereits dargelelgt:

Zitat:

zweite summe: n+1
4. und 5. Summe (addiert): 0

25.11.2012, 22:05

Vrenerl

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Achso!!! das war nur von 1 und 3! Ja dann ist das Logisch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Freude

Aber ergebnis zwei muss ich dann bei der Lösung schon noch angeben oder? das hat nur jetzt grad im moment keine rolle gespielt.
Ich habe dann nur noch aus 1 und 3 : (n+1)²
und aus zwei: (n+1)
und es ergibt sich dann aus dieser gesamten formel durch das vereinfachen nur
(n+1)² + (n+1)
Stimmt das nun ? -.-

25.11.2012, 22:14

Kasen75

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Genau.

Freude

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} (n+1)² + (n+1) \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 22:17

Vrenerl

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Puuuuuh

Lehrer

Freude

Herzlichsten Dank für die Geduld und das tolle Erklären!
Jetzt hab ich das auch endlich mal verstanden! Freude

Freude

Einen schönen Abend noch! smile

smile

25.11.2012, 22:20

Kasen75

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Gerne.

smile

Ich wünsche dir auch einen schönen Abend.

Grüße.

26.11.2012, 09:51

Vrenerl

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Guten morgen, habe nochmal ne Frage... unglücklich

unglücklich

1.
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{l=1}^n (x+y)²+\sum\limits_{l=1}^n 2xy }{\sum\limits_{l=1}^n (3x²+3y²) } \end{eqnarray*}$

da habe ich rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{l=1}^n \frac{x²+y²}{3x²+3y²} \end{eqnarray*}$

und bei
2.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{2i} -\sum\limits_{i=2}^{n+1} \frac{1}{2i-2} \end{eqnarray*}$

habe ich =0 raus.

ist das so korrekt?

3.
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{i=1}^n 5*2^{i} }{\sum\limits_{i=3}^{n+2} 2^{i-1} } \end{eqnarray*}$

soll/kann ich da die 2 irgendwie rausziehen und ein n? o.O

26.11.2012, 10:09

Kasen75

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Guten morgen Vrenerl,

da ich jetzt keine Zeit habe und ich auch nicht weiß, ob ich dir da überhaupt substantiell helfen kann mach doch lieber ein neues Themal auf.

Auf die schnelle fällt mir nur auf, dass die Aufgabenstellung bei 1. so heißen müsste, wenn ich mir dein Ergebnis anschaue:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{l=1}^n (x+y)²\textcolor{red}{-}\sum\limits_{l=1}^n 2xy }{\sum\limits_{l=1}^n (3x²+3y²) } \end{eqnarray*}$

Grüße.

26.11.2012, 10:32

Vrenerl

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Habe ja Zeit; bin heute abend auch wieder online.
Und ja, da hatte sich ein Fehler eingeschlichen;
es sollte so lauten:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{l=1}^n \frac{x²+4xy+y²}{3x²+3y²} \end{eqnarray*}$

26.11.2012, 14:19

Kasen75

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Hallo,

mit der 1. kann ich wenig bis gar nichts anfangen. Insbesondere, da die Variablen ohne Indizes sind.

Also erstmal zur 2.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{2i} -\sum\limits_{i=2}^{n+1} \frac{1}{2i-2} \end{eqnarray*}$

Hier kann man ja bei beiden Summen ein und den selben Faktor ausklammern.

Welchen?

26.11.2012, 14:50

Vrenerl

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Ich habe das mal durch einsetzen versucht und da kam dann das schöne Ergebniss von '0' raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Meinen Sie jetzt das n+1?

26.11.2012, 14:50

Vrenerl

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oder 2i

26.11.2012, 15:09

Kasen75

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Hier im Forum reden mich die meisten User mit "du" an. Find ich eigentlich auch gut.
2i meinte ich nicht ganz. i muss ja sowieso hinter der Summe bleiben. Meine Überlegung dahinter war, einen Faktor auszuklammern (ohne den Index i) um ihn dann vor die Summe schreiben zu können.

Eigentlich meinte ich den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Den kann man bei beiden Summen ausklammern.
Bei der zweiten Summe kannst du aber erstmal die 2 im Nenner ausklammern. Dann siehst du vielleicht besser, wie man dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ vor die Summe ziehen kann.

26.11.2012, 15:13

Vrenerl

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Ja, ich bin mir da leider immer etwas unsicher, was ich ausklammern darf und was nicht :/

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i -\sum\limits_{i=2}^{n+1} i-2 \end{eqnarray*}$

?

26.11.2012, 15:14

Vrenerl

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ich hatte übrigens für Summe 1 gleich die 1 eingesetzt und für Summe 2 die 2
da kommt dann raus 1/2 - 1/2

oder bei 5 und 6
1/10 - 1/10

Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.11.2012, 15:55

Kasen75

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Was ich eigentlich meinte war folgende Rechenoperation:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{2i} -\sum\limits_{i=2}^{n+1} \frac{1}{2i-2}=\sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{2i} -\sum\limits_{i=2}^{n+1} \frac{1}{2(i-1)}=\sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{i} -\sum\limits_{i=2}^{n+1} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{i-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ jeweils vor die Summe ziehen:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i} - \frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{i=2}^{n+1} \frac{1}{i-1} \end{eqnarray*}$

Oder sogar noch vor beide Summmenausdrücke, durch ausklammern, schreiben:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} \cdot \Bigg( \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i} - \sum\limits_{i=2}^{n+1} \frac{1}{i-1} \Bigg) \end{eqnarray*}$

Jetzt solltest du für die zweite Summe einen Index finden, der sicherstellt, dass statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{i-1} \end{eqnarray*}$ etwas dasteht wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{j} \end{eqnarray*}$

Wie könnte man hier substituieren und die Grenzen dementsprechen anpassen?
Du hast es ja schon bei einer anderen Aufgabe mit HAL 9000 durchgeführt.

26.11.2012, 16:28

Vrenerl

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Wenn ich die zweite Summe substituiere, dann habe ich doch
j=i-1
und ziehe dann die eins jeweils von der oberen und von der unteren Grenze ab?
-> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * (\sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i} -\sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{j}) \end{eqnarray*}$

und ich befürchte...es ist wieder falsch,oder? unglücklich

unglücklich

Weil ich hab ja dann eigentlich dastehen (n+1)-(1)=n?? traurig

traurig

26.11.2012, 16:35

Kasen75

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Deine Formel ist richtig. Freude

Freude

Jetzt ist nur die Frage, welche Schlussfolgerung man daraus zieht. Die erste Summe hat den letzten Summanden mehr als die zweite Summe. Wenn man jetzt also die zweite Summe von der ersten Summe abzieht, bleibt der letzte Summand der ersten Summe übrig.

Jetzt musst du eigentlich nur noch die obere Grenze der ersten Summe in den Ausdruck der ersten Summe einsetzen.
Da ergibt sich was?

26.11.2012, 16:40

Vrenerl

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * 1 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
?

26.11.2012, 16:47

Kasen75

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Leider nicht. Was ist denn die obere Grenze der ersten Summe?

26.11.2012, 16:54

Vrenerl

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Wenn ich die Summen voneinander abgezogen habe bleibt doch lediglich das hier stehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\sum\limits_{i=1}^1\frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

oder lieg ich da jetzt auch wieder falsch? Es bleibt ja nur noch die 1 stehen, da ich ja das n von der 2.Summe abgezogen habe.

Meine oberste Grenze ist hierbei 1, die in i eingesetzt ergibt doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

26.11.2012, 16:56

Kasen75

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Du hast ja hier keine konkreten Werte. Deswegen wirst du hier keinen konkreten Wert rausbekommen.
Die obere Grenze der ersten Summe ist ja ziemlich allgemein gehalten. Deswegen nochmal meine Frage:
Was ist denn die obere Grenze der ersten Summe?

26.11.2012, 16:58

Vrenerl

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n

26.11.2012, 17:00

Kasen75

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Leider nicht. Ich will dich ja jetzt nicht quälen, aber eigentlich musst du es ja nur ablesen, die obere Grenze der ersten Summe.

26.11.2012, 17:04

Vrenerl

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jetz glaub ich....lange leitung
i=1 und meine untere Grenze
also entschpricht meine untere Gr. meiner oberen Gr.
und ist daher i
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\sum\limits_{i=1}^i i \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^i \frac{i}{2i} \end{eqnarray*}$

26.11.2012, 17:06

Kasen75

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Du warst schon weiter. Ich zitiere dich mal:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * (\sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i} -\sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{j}) \end{eqnarray*}$

Ergibt meine Frage jetzt einen Sinn?

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