Skriptaussage inkorrekt? Beweis hinkt.. :(

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ascer Auf diesen Beitrag antworten »
Skriptaussage inkorrekt? Beweis hinkt.. :(
Hallo Community smile



Folgende Aussage fand ich in meinem Skript, welche ich beweisen soll:



In der Aufgabe steht nun beweisen Sie (1).


Ich hinke aber schon etwas bei der Aussage selbst, meines Erachtens nach setzt die Aussage doch folgendes vorraus:



Es könnte doch aber auch sein, dass gar kein a existiert, welches auf ein Element von B' abgebildet wird.

Dann würde doch folgender Fall eintreten:



Oder ist es so, dass die leere Menge immer Element jeder Menge ist, auch wenn man die leere Menge in der Definition der Menge B' explizit nicht mit hinschreibt?

Dann würde natürlich immer zumindest der Trivialfall gelten, dass eben die leere Menge Element von B' ist.





Nun aber zum Beweis...bis jetzt habe ich da folgendes, wobei ich mir sehr unsicher bin:



Außer eben für die Fälle, wo es kein b aus B' gibt, sodass f^(-1)(b)=a gilt.
Dann ist f^(-1) : B -> A keine Funktion, weil nicht alle b aus B' zugeordnet sind und B' ja Teilmenge von B ist.

Ist das so korrekt?

Bin mir wie gesagt sehr unsicher..


Grüße & Danke im Voraus für jede Antwort! smile
schubi Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich weiß nicht ob man das so einfach machen kann! Zunächst einmal ist eine Funktion ja so definiert, dass jedem Element der Menge A genau einem Element der Menge B zugeordnet ist. Nach der Definition kann man eine Umkehrfunktion nur dann bilden, wenn die Funktion bijektiv ist.

Dann jedoch wäre die Aufgabe trivial gelöst, weil dann gilt:



Das einzig noch mögliche was man zulassen könnte (was aber dann genau genommen keine Funktion mehr ist) sind injektive Funktionen.

Dann müsste man mit den Teilmengen arbeiten.

Und ja, die leere Menge ist teil jeder Menge smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ schubi

Da ist gleich mehreres falsch:

1) Umkehrfunktionen gibt es nur für bijektive Funktionen, hier wird aber von der Urbildmenge gesprochen, die immer definiert ist.

2) Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, nicht aber Element jeder Menge.

air
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Aufgabe:

Wenn man beweisen möchte, dann muss man auf die Definition schauen. Diese sagt, dass dies gilt, wenn gilt. Damit ist die Strategie auch schon klar:

Sei . Du musst nun zeigen, dass dann auch gilt.

air
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst als Vereinigung disjunkter Mengen schreiben:



Es gilt für das Urbild von :



und für das Urbild disjunkter Teilmengen :



Damit solltest du was anfangen können.
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich muss gestehen, dass mir das im Kontext meiner "Beweisführung" (ganz unten unter "zu zeigen gilt") im Moment nicht wirklich weiterhilft ^^

Wie zeige ich denn noch "einwandfreier", dass x in beiden enthalten ist?

Bzw. was stimmt konkret an meiner Herangehensweise nicht?


@Raven: Danke für den Ansatz! Hatte deinen Post eben überlesen...muss mir das gleich mal verdeutlichen, noch steig ich da nicht ganz durch ^^
 
 
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

keiner noch einen kleinen Kommentar für mich? ^^
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skriptaussage inkorrekt? Beweis hinkt.. :(
Zitat:
Original von ascer
...

...


Das stimmt halt nicht. Die Aussage kann man so nicht machen, denn wie du selber richtig bemerkt hast, kann es sein, dass es gar kein solches gibt.

Zitat:

Außer eben für die Fälle, wo es kein b aus B' gibt, sodass f^(-1)(b)=a gilt.
Dann ist f^(-1) : B -> A keine Funktion, weil nicht alle b aus B' zugeordnet sind und B' ja Teilmenge von B ist.



ist i.d.R. keine Abbildung, da es mehrere Elemente geben kann, die auf ein via abbilden. wäre nur dann eine Abbildung, wenn und damit bijektiv.

Vielleicht soltest du dich doch mal mit meinen Überlegungen aus dem obigen Post beschäftigen, da aus ihnen letztendlich die Behauptung folgt, ohne dass man einzelne Elemente betrachten muss, die zu B' dazu gehören oder nicht.

Übrigens: Die leere Menge ist nicht "Element jeder Menge"(Zitat), sondern Teilmenge jeder Menge. Dies ist ein Unterschied. Man kann also immer für eine Menge schreiben



Vielleicht hilft das.
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