Partialbruchzerlegung und Teleskopsumme

25.11.2012, 21:25	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung und Teleskopsumme Hey, kann mir jemand einen Tipp geben, wie es weiter geht bei der Aufgabe: Zeigen Sie $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\frac{1}{4} <br /> \end{eqnarray}$ Ich habe jetzt eine Partialbruchzerlegung vorgenommen, die schaut so aus: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} +\frac{1}{k+2}<br /> \end{eqnarray}$ Nun kann ich ja schreiben: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} +\frac{1}{k+2}\right) <br /> \end{eqnarray}$ Aber weiter komme ich nicht, kann ich das noch weiter umformen? Und wie funktioniert das dann mit der Teleskopsumme? Vielen Dank schonmal
25.11.2012, 22:20	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung und Teleskopsumme Hi, ich glaube da muss etwas bei der PBZ schief gegangen sein. Wenn man nämlich $\begin{eqnarray} \frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} +\frac{1}{k+2} \end{eqnarray}$ zusammenrechnet erhält man für den Zähler 2 und nicht wie gewünscht eine 1 (Wenn ich mich nicht verrechnet habe.)
26.11.2012, 08:59	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt hast recht, Danke. $\begin{eqnarray} \frac{0,5}{k} - \frac{1}{k+1} +\frac{0,5}{k+2} \end{eqnarray}$ So sollte es stimmen.
26.11.2012, 11:57	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok habe es hinbekommen.
26.11.2012, 20:11	schubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ist es immer schön, wenn man dann auch eine Lösung lesen könnte... wenn ich nach einer ähnlichen Aufgabe google und dann nur ein "hab es hinbekommen" lese, dann reg ich mich da schon drüber auf
26.11.2012, 21:42	Jello Biafra	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} a_n:=\frac 1n-\frac 1{n+1}. \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} \frac 1{n(n+1)(n+2)}=\frac 12\left(a_n-a_{n+1}\right). \end{eqnarray}$
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27.11.2012, 17:12	Lasso	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie kommt man von hier jetzt auf 1/4?
27.11.2012, 17:42	Jello Biafra	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil nach dem zuvor Gesagten gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n(n+1)(n+2)}=\frac 12\sum_{n=1}^\infty\left(a_n-a_{n+1}\right)=\frac {a_1}2. \end{eqnarray}$ Stichwort: Teleskopreihe

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