Konvergenzverhalten Verteilungsfunktion

26.11.2012, 11:52	sl33ping	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzverhalten Verteilungsfunktion Meine Frage: Ich soll das Konvergenzverhalten $\begin{eqnarray} \lim sup \|R(t, x)/t\| < \infty \end{eqnarray}$ wenn t von oben gegen 0 für alle x > 0 für $\begin{eqnarray} F(x) = exp(-x^{-1/\gamma}), x > 0 \end{eqnarray}$ nachweisen. R(t,x) ist definiert als $\begin{eqnarray} R(t,x) = x^{\gamma}\cdot \frac{F^{<-}(1-t\cdot x)}{F^{<-}(1-t)} - 1 \end{eqnarray}$ . Eine weitere Frage ist wie schnell $\begin{eqnarray} k_{n} \end{eqnarray}$ wachsen darf, damit $\begin{eqnarray} \sqrt{k_{n}} \cdot \|R(k_{n}/n , x)\| \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert. (Gesucht ist eine möglichst schwache Bedingung des Typs $\begin{eqnarray} k_{n} = O(a_{n} ) \end{eqnarray}$ für eine gegen unendlich konvergierende FOlge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ .) Als Hinweis kann man die Taylor-Approximation $\begin{eqnarray} (1+u)^{v} = 1 - v \cdot u + O(u^{2}) \end{eqnarray}$ für u -> 0 verwenden. Meine Ideen: Ich habe zunächst die Inverse der Verteilungsfunktion berechnet mit als Resultat: $\begin{eqnarray} F^{<-}(t) = (-ln(t))^{-\gamma} \end{eqnarray}$ . Danach habe ich erstmal in R(t,x) eingesetzt: $\begin{eqnarray} R(t,x) = x^{\gamma} \cdot (\frac{ln(1-t \cdot x)}{ln(1-t)} )^{-\gamma}-1 = x^{\gamma} \cdot (\frac{-t \cdot x + O(t^{2} \cdot x^{2})}{-t+O(t^{2})} )^{-\gamma}-1 \end{eqnarray}$ Der letzte Schritt folgt aus der Taylor-Approximation $\begin{eqnarray} ln(1+u)=u+O(u^{2}) \end{eqnarray}$ für u -> 0. Um die erste Frage lösen zu können, denke ich, dass ich den Bruch noch weiter umformen muss. Weiß derzeit aber nicht, wie ich da weiter machen könnte. Habt ihr hier ne Idee?
26.11.2012, 22:51	sl33ping	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir keiner helfen?
28.11.2012, 15:15	sl33ping	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist in meiner Beschreibung etwas unklar? Sollte ich eventuell versuchen irgendwas deutlicher zu beschreiben? liebe Grüße

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