Äquivalenz sowie Ordnungsrelation

26.11.2012, 12:17

XyZman

Äquivalenz sowie Ordnungsrelation

Hi,
Ich sitze seit einiger Zeit an dieser Aufgabe.

M ist eine nicht leere Menge und R C MxM eine Relation welche eine Äquivalenz sowie Ordnungsrelation ist.
Es gilt zu zeigen : Es gibt eine solche Relation R und zeigen Sie aus welchen Elementen R besteht

Um die Bedingung im Thema zu erfüllen muss ja eigl Antisymmetrie und Symmetrie gleichzeitig herrschen. Das kann ja nun aber nicht sein.
Deshalb ging ich von der Quasiordnung aus die die Eigenschaften der Transitivität und der Reflexivität hat. Denn a ist nicht = b .
Wie muss diese Relation aussehen ?

z.b für alle x,y,z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$
R={(x,x),(y,y),(z,z),(x,y),(x,z)} ?

Hier hätte meine Relation ja die Eigenschaft der Symmetrie und Transitivität.
Doch ist das richtig so ?

lg
Micha

26.11.2012, 12:27

Mazze

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Zitat:

Um die Bedingung im Thema zu erfüllen muss ja eigl Antisymmetrie und Symmetrie gleichzeitig herrschen. Das kann ja nun aber nicht sein.

Doch , Antisymmetrie und Symmetrie sind keine Gegenteile. Das Gegenteil von symmetrisch ist nicht-symmetrisch, mehr nicht.

Zitat:

Hier hätte meine Relation ja die Eigenschaft der Symmetrie und Transitivität.

Deine Beispielrelation ist nicht symmetrisch.

Zur Aufgabe : Tatsächlich ist die gesuchte Relation denkbar einfach. Es soll ja

$\begin{eqnarray*} xRy \land yRx \Rightarrow x = y \end{eqnarray*}$ gelten. Da wir aber auch Symmetrie haben wollen , also

$\begin{eqnarray*} xRy \Rightarrow yRx \end{eqnarray*}$

kann man sofort ausschließen, dass es Paare (x,y) mit $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ gibt. Welche Relation bietet sich also nur noch an?

26.11.2012, 12:45

XyZman

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Wenn man ausschließen kann, das es Paare mit $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ gibt kann R ja nur R={(a,a),(b,b),(c,c)} sein. Also die Elemente in Relation mit sich selbst.

26.11.2012, 12:47

Mazze

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Zitat:

Wenn man ausschließen kann, das es Paare mit $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$

Das ist genau der Punkt den es hier zu verstehen gibt.

Zitat:

R={(a,a),(b,b),(c,c)}

Auf der Menge {a,b,c} ist diese Relation sowohl Ordnungsrelation als auch Äquivalenzrelation.

26.11.2012, 12:53

XyZman

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