Charakteristische Funktion für beschränkte Verteilungsfunktion

26.11.2012, 15:09

Alex83

Charakteristische Funktion für beschränkte Verteilungsfunktion

Meine Frage:
Hallo allerseits,

ich bin bei folgendem Problem nahezu am Verzweifeln und würde mich über jeden guten Hinweis freuen,

Und zwar besitze ich eine Verteilungsfunktion, die als Summe von Normalverteilung und Rayleighverteilung mit Fehlerfunkton geschrieben werden kann, also

Schematisch:
$\begin{eqnarray*} f(x)=norm(x)+rayleigh(x)\cdot (1+erf(C\cdot x)) \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ eine Konstante und die Rayleighverteilung wird beidseitig definiert also $\begin{eqnarray*} [-\infty,\infty] \end{eqnarray*}$

Die gesamte Funktion hat dann den Intervall $\begin{eqnarray*} [-\infty,\infty] \end{eqnarray*}$

Die dazugehörige charakteristische Funktion ergibt sich aus:

$\begin{eqnarray*} f(t)= CF_{rayleigh} \cdot CF_{norm} \end{eqnarray*}$

Jetzt beschäftigt mich folgende Frage:
Wenn ich den Intervall von f(x) beschränke z.B. $\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$ , wie sieht dann die dazugehörige charakteristische Funktion aus?

Meine Ideen:
Theoretisch müsste ich doch eigentlich nur die charakteristische Funktion für den neuen Intervall folgend bilden:

$\begin{eqnarray*} f(t)= \int_{0}^{\infty} f(x)\cdot e^{itx} dx \end{eqnarray*}$ blöderweise kriege ich die rayleigh mal errorfunktion nicht integriert. Vielleicht gibts auch ne Möglichkeit $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ so günstig mit einer anderen Funktion zu falten, dass diese dadurch abgeschnitten wird und im Bildbereich nur noch ein zur Faktor zu $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ dazu kommt.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe :-)

26.11.2012, 15:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Alex83
$\begin{eqnarray*} f(x)=norm(x)+rayleigh(x)\cdot (1+erf(C\cdot x)) \end{eqnarray*}$

Ganz egal, ob du nun mit norm(x) sowie rayleigh(x) Dichten oder Verteilungsfunktionen meinst, ich habe ernsthafte Zweifel, dass das Ergebnis dieser Operation wiederum eine Dichte bzw. Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße ist. Oder redest du nur von Dichte bzw. VF eines positiven Maßes, d.h. ohne Normierung 1? verwirrt

26.11.2012, 15:34

Alex83

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Entschuldigung, ich hätte es wohl gleich ausführlicher aufschreiben sollen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=F_{a}\cdot norm(x,0,\sigma_{a})+F_{b}\cdot rayleigh(x,\sigma_{b})\cdot (1+erf(C\cdot x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{a},F_{b} \end{eqnarray*}$ sind Faktoren, die Werte zwischen 0 und 1 annehmen können.

Hierbei handelt es sich dann wirklich um eine Wahrscheinlichkeitsdichte mit der Fläche 1.
(im Wesentlichen um ein Derivat der Riceverteilung)

26.11.2012, 15:54

Alex83

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Ich hab nochmal versucht das Problem zu skizzieren.

$\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ ist eine Normalverteilung.

Somit ist der gesuchte Ausdruck im Bildbereich $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$ gefaltet mit $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$

26.11.2012, 16:21

Alex83

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Da das alles Summanden sind, kann man das alles separat betrachten. Sowohl die Normalverteilung als auch die Rayleighverteilung kriege ich in
im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$ in den Bildbereich.

Es bleibt eigentlich nur ein Ausdruck zu lösen:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}rayleigh(x)\cdot erf(C\cdot x) \cdot e^{itx} dx \end{eqnarray*}$
Aber irgendwie bin ich da nicht clever genug.. da wäre ich für nen guten Hinweis echt dankbar..

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