Populationsentwicklungen, Zeitpunkt bis zu gewisser Populationsgröße berechnen

26.11.2012, 15:37

Hackfresse93

Populationsentwicklungen, Zeitpunkt bis zu gewisser Populationsgröße berechnen

Meine Frage:
In meinem Mathebuch steht eine Aufgabe, in der die Populationsentwicklung eines Zebras mithilfe der Übergangsmatrix (zeilemweise geschrieben) M = (0-0-2/0.7-0-0/0-0.8-0) geschildert wird. Die "Startpopulation" wird mit dem Vektor V =(40/20/25) beschrieben (40 Jungzebras, 20 ausgewachsene Zebras und 25 Altzebras).
Die ersten beiden Teilaufgaben sind relativ simpel. Doch Teilaufgabe c) bereitet mir ein paar Probleme. Die Aufgabe lautet wie folgt:
"Der Nationalpark kann maximal 110 Tiere dieser Art (damit sind alle Zebras gemeint) aufnehmen. Nach welcher Zeit müssen Maßnahmen zur Eindämmung ergriffen werden?"

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, dass ich das Wachstum der Population zunächst berechne. Allgemein gilt ja dafür: "a*b*v > 1". Laut der Übergangsmatrix gilt. a = 0.7 ; b = 0.8 und v = 2. Also:
0.7*0.8*2 = 1.12
Deswegen muss das Wachstum pro Jahr 12 % betragen. Die Startpopulation an allen Zebras betrug ja laut Vektor V, 85 Zebras. Daher dachte ich, dass ich einfach die Entwicklung der Population in der Gleichung beschreibe und die mit einer Variable multipliziere und diese gleich 110 setze, um den Zeitpunkt zu berechnen. Wie Folgt:

1.12*85*u = 110
95.2*u = 110
u = 1.16

Ich find das Ergebnis ein bisschen merkwürdig, ich weiß nicht wo der Fehler ist.

27.11.2012, 11:08

Benny 0815

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Wie kommst du denn darauf, dass das jährliche Wachstum konstant ist?

Tatsächlich ist das Wachstum in manchen Jahren sogar rückläufig. Das liegt daran, dass die neugeborenen Zebras ZWEI Jahre brauchen, bis sie sich vermehren. Und in dieser Zeit nimmt ihre Zahl ab.

Berechne doch mit der Übergangsmatrix einfach die Populationen und bestimme jedesmal deren Gesamtzahl. Das ist doch aufgrund der Struktur der Matrix sehr einfach. Und dann siehst du doch, welchen Verlauf die Population nimmt.

27.11.2012, 16:27

Benny 0815

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Also, ich hab mich jetzt noch mal eingehender mit der Aufgabe befasst.

Das JÄHRLICHE Wachstum ist nicht konstant. Aber das Wachstum in eine Zyklus von DREI JAHREN ist konstant und zwar so wie du es berechnet hast:

0.7 * 0.8 * 2 = 1.12

Das liegt wohl an der speziellen Struktur der Übergangsmatrix. Ich hab den Verlauf für die ersten 9 Jahre mal ermittelt:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:

Gen  ---young  --middle    -----old     -----sum   --growth
   0    40.000    20.000    25.000    85.000
   1    50.000    28.000    16.000    94.000   110.6 %
   2    32.000    35.000    22.400    89.400    95.1 %
   3    44.800    22.400    28.000    95.200   106.5 %
   4    56.000    31.360    17.920   105.280   110.6 % 
   5    35.840    39.200    25.088   100.128    95.1 %
   6    50.176    25.088    31.360   106.624   106.5 %
   7    62.720    35.123    20.070   117.914   110.6 %
   8    40.141    43.904    28.099   112.143    95.1 %
   9    56.197    28.099    35.123   119.419   106.5 %

Man sieht, dass sich die Wachtumsraten alle drei Jahre wiederholen. Im Mittel ergibt sich das dreijährige Wachstum zu

1,106 * 0,951 * 1,065 = 1,12

Insoweit ist dein Ansatz also richtig ... aber du machst zwei entscheidende Fehler.

Erstens beachtest du nicht, dass sich der Wachstumsfaktor auf DREI Jahre bezieht.

Und zweitens ist dein Ansatz vom Prinzip her falsch.

Zitat:

1.12*85*u = 110

Der Wachstumsfaktor POTENZIERT sich doch. Wenn n also die Anzahl der dreijährigen Perioden bedeutet, dann gilt doch

$\begin{eqnarray*} 1.12^{n} * 85 = 110 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das logarithmisch auswerte dann erhalte ich n= 2,275.

Wenn man das dann mal 3 nimmt, dann kommt aufgerundet tatsächlich das richtige Ergebnis, nämlich sieben Jahre heraus - wie man der o.a. Tabelle entnimmt.

ABER ... das dürfte schlicht und ergreifend Zufall sein! Denn wie man sieht schrumpft und wächst die Population ... mit dem DURCHSCHNITT des Wachstums kann man also allenfalls eine Näherungslösung erzielen. Die ist dann vermutlich nur auf ein bis zwei Jahre genau.

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