Ungleichung

26.11.2012, 16:10	nicholas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} x_{1}, ..., x_{n} \end{eqnarray}$ reelle Zahlen. Zeigen Sie die folgende Ungleichung: $\begin{eqnarray} \Big( max(x_{1},..., x_{n} ) \Big)^{2} + 4 \sum_{j=1}^{n-1} max(x_{1},...,x_{j}) \Big( x_{j+1} - x_{j} \Big) \le 4 x_{n}^{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hab mir das für n=1 und n=2 mal angesehen. Für ersteres ist die Aussage trivial, bei zweiterem scheitere ich schon an einem Beweis. Da kriegt man dann sowas wie $\begin{eqnarray} 4 x y - 4 x^{2} \le 3 y^{2} \end{eqnarray}$ wenn y größer ist $\begin{eqnarray} - 3 x^{2} + 4 x y \le 4 y^{2} \end{eqnarray}$ sonst. Warum das stimmen sollte, sehe ich nicht. Wenn x < y, dann ist natürlich x y < y², aber warum sollte das immer noch stimmen, wenn ich links das vierfache nehme und rechts nur das dreifache, dafür aber auf der linken Seite noch nen bissel abziehe? Erst Recht hab ich keinen blassen Schimmer, wie ich das Ding im Allgemeinen beweise. Da beißt man sich ja nur die Zähne bei aus -.-
26.11.2012, 18:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne den richtigen Zugang beißt man sich hier in der Tat die Zähne aus. So kann es gehen: Wir nennen einen Index $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ eine Spitze, wenn $\begin{eqnarray} x_j = \max (x_1, \dotsc, x_j) \end{eqnarray}$ . Sind nun $\begin{eqnarray} 1=j_1 < \dotsc < j_s \end{eqnarray}$ die Spitzen der Folge $\begin{eqnarray} x_1, \dotsc, x_n \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n-1} \max (x_1, \dotsc, x_j)(x_{j+1}-x_j) = \sum_{k=1}^{s-1} \sum_{i=j_k}^{j_{k+1}-1} x_{j_k} (x_{i+1}-x_i) ~+ ~ \sum_{i=j_s}^{n-1} x_{j_s}(x_{i+1}-x_i) = \sum_{k=1}^{s-1} x_{j_k}(x_{j_{k+1}}-x_{j_k}) ~+ ~ x_{j_s}(x_n-x_{j_s}) \end{eqnarray}$ Daher kannst du nach Übergang zur Folge $\begin{eqnarray} x_{j_1} , \dotsc, x_{j_s} , x_n \end{eqnarray}$ o.B.d.A einfach $\begin{eqnarray} x_1 \leq x_2 \leq \dotsc \leq x_{n-1} \end{eqnarray}$ annehmen. Du musst nur noch $\begin{eqnarray} x_{n-1} \leq x_n \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x_{n-1} > x_n \end{eqnarray}$ unterscheiden, d.h. ob $\begin{eqnarray} j_s = n \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} j_s < n \end{eqnarray}$ . Der Beweos gelingt jedoch in beiden Fällen völlig gleich.
29.11.2012, 16:42	nicholas	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbst mit diesem Tipp komm ich da nicht weiter... Wenn ich annehme, dass $\begin{eqnarray} x_{1} \le ... \le x_{n} \end{eqnarray}$ dann wird aus diesen mittleren Summe ja erstmal $\begin{eqnarray} <br /> 4 \sum_{j=1}^{n-2} ( x_{j} x_{j+1} - x_{j+1}^{2} ) + 4 x_{n-1} x_{n} - 4 x_{1}^{2} \end{eqnarray}$ wobei die einzelnen Summanden der Summe kleiner gleich 0 sind, also kann ich die schon mal weglassen (was wohl eine schlechte Idee ist...), denn dann muss ich zeigen $\begin{eqnarray} <br /> x_{n}^{2} + 4 x_{n-1} x_{n} - 4 x_{1}^{2} \le 4 x_{n}^{2}<br /> \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ das größte ist und sonst halt $\begin{eqnarray} <br /> x_{n-1}^{2} + 4 x_{n-1} x_{n} - 4 x_{1}^{2} \le 4 x_{n}^{2}<br /> \end{eqnarray}$ Ich glaub das stimmt auch garnicht mehr. Ich hab es auch anders versucht. Ich konnte die Ungleichung für n=2 beweisen (mit pq-Formel) und hab es dann mit Induktion versucht, die Abschätzung mittels Induktionsvorraussetzung scheint aber zu großzügig zu sein, sodass beim Versuch es zu machen wie den Fall n=2 eine Parabel mit zwei verschiedenen Nullstellen auftritt. -.- Ich bin verzweifelt! Ich sitz trotz deinem Tipp schon stundenlang an dieser Aufgabe und komme kein Stück weiter.

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