Häufungspunkte einer Folge bestimmen

26.11.2012, 16:12

Shirka

Häufungspunkte einer Folge bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
ich möchte die Häufungspunkte mehrerer Folgen bestimmen. Gegeben sind jeweils die Folgenglieder.
a) $\begin{eqnarray*} (-1)^n\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} (-1)^n \frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \frac{(-2)^n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich fange mal mit der a) und b) an

Überlegt habe ich mir: Häufungspunkte sind Punkte gegen die Teilfolgen der gegebenen Folgen konvergieren.

Wenn ich bei a) die Teilfolge der ungeraden Zahlen betrachte, konvergiert diese gegen 1, die Teilfolge der geraden Zahlen konvergiert gegen -1. Damit habe ich meine 2 Häufungspunkte, richtig? (Die gesamte Folge divergiert natürlich, da sie zwei und damit mehr als einen Häufungspunkt hat)

zu b)ich habe geschaut, was für große n passiert

$\begin{eqnarray*} (-1)^n \frac{n}{n^2+1}=(-1)^n\frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}\cdot \frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$ .

Damit geht der zweite Faktor für n gegen unendlich gegen 1. Die Häufungspunkte sind also wieder (-1) und 1, richtig?

zu c)
hier habe ich keinen so richtigen Ansatz, ich habe ja durch die $\begin{eqnarray*} (-2)^n \end{eqnarray*}$ einen Faktor der jeweils hin- und herspringt. Ich weiß aber nicht, wie dieser sich im Verhältnis zu $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ verhält. So aus dem Gefühl würde ich sagen, dass 2^n für große n schneller wächst und damit die gesamte Folge divergiert. Damit hätte sie keine Häufungspunkte (da sie ja nie zurückkommt und immer weiter divergiert. Falls das so stimmt, weiß ich noch nicht, wie ich das schön zeigen kann..

26.11.2012, 21:06

Jello Biafra

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RE: Häufungspunkte einer Folge bestimmen

Zitat:

Original von Shirka
...Damit habe ich meine 2 Häufungspunkte, richtig? (Die gesamte Folge divergiert natürlich, da sie zwei und damit mehr als einen Häufungspunkt hat)

Ja, das ist richtig!

Zitat:

Original von Shirka
...Damit geht der zweite Faktor für n gegen unendlich gegen 1. Die Häufungspunkte sind also wieder (-1) und 1, richtig?

Nein, das ist falsch.

Guck Dir die Grenzwerte von Zähler und Nenner des Bruches

$\begin{eqnarray*} \frac n{n^2+1}=\frac{\frac 1n}{1+\frac 1{n^2}} \end{eqnarray*}$

noch mal an und folgere mit den Grenzwertsätzen.

Und bei c) könntest Du versuchen aus dem Binomischen Lehrsatz, für hinreichend große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , eine Abschätzung zu folgern.

26.11.2012, 21:15

rza

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zu a) yop stimmt is richtig
zu b) faktorisiere mal nur ein n im nenner raus und schau was passiert
zu c) betrachte es mal zuerst für gerade n ...hasbt ihr schon exponentialfunktion gemacht ? ... oder sonst könnte man zeigen dass wenn man n gross genung werden lässt $\begin{eqnarray*} 2^{n} \geq n^{3} \end{eqnarray*}$ gilt

n bisschen zu spät =)

29.11.2012, 11:50

Shirka

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Hallo ihr, erstmal danke für eure Kommentare.

Zitat:

Guck Dir die Grenzwerte von Zähler und Nenner des Bruches $\begin{eqnarray*} \frac n{n^2+1}=\frac{\frac 1n}{1+\frac 1{n^2}} \end{eqnarray*}$

Oh, klar - dieser Ausdruck geht natürlich gegen 0 für n gegen unendlich, da 1/n sowie 1/n² gegen 0 gehen und damit der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen 1 gehen.

Für die gesamte Folge bedeutet dies, dass die einzelnen Folgenglieder immer zwischen positiven und negativen Werten springen, dabei aber vom Betrag her immer kleiner werden. Damit ist 0 ein Häufungspunkt der Folge und gleichzeitig auch der einzige. Die Folge konvergiert also gegen den Grenzwert 0. (wenn es nur einen eigentlichen HP gibt, und die Folge konvergiert, ist der HP gleichzeitig der Grenzwert)

zu c)

Ich habe das jetzt umgeformt zu
$\begin{eqnarray*} (-1)^n \cdot \frac{2^n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

Dann müsste ich zeigen, dass für genügend große n stets $\begin{eqnarray*} 2^n>n^2+1 \end{eqnarray*}$ . Damit würde die Folge divergieren und hätte (wenn man die uneigentliche HP +/- unendlich mit zählen lassen möchte genau diese zwei Häufungspunkte), sonst hat man keine.

@rza meintest du hier $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ ? Oder falls nicht, warum betrachtest du $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

betrachte es mal zuerst für gerade n ...hasbt ihr schon exponentialfunktion gemacht ? ... oder sonst könnte man zeigen dass wenn man n gross genung werden lässt $\begin{eqnarray*} 2^{n} \geq n^{3} \end{eqnarray*}$ gilt

@Jello Biafra:
Ich habe mir mal den Binomischen Lehrsatz angesehen - auf Wikipedia lautet er so:

$\begin{eqnarray*} (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \end{eqnarray*}$
Und du meintest ich sollte diesen für große n betrachten und dann abschätzen - ich sehe nur gerade noch gar nicht, wie ich da auf das $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ kommen könnte und überhaupt wie ich anfangen könnte... Wie hast du das denn gemeint?

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