Flächeninhalt einer Parameterkurve [war: Parameter t]

10.02.2007, 19:01

Niki_

Flächeninhalt einer Parameterkurve [war: Parameter t]

Bestimmt werden soll der vom Parameter t abhängenden Flächeninhalt F8t) zwischen der Kurve y=f(x) und der x-Achse im Bereich 0<x<3

y=f(t)=9-t^2 + 2*t*x - x^2

WIe geht man da ran ?

Desweiteren ist gefragt : FÜr welchen Wert t wird der Flächeninhalt F(t) maximal?

Da bräuchte ich auch mal einen kleinen Anstoß. Wäre ganz nett Danke Wink

10.02.2007, 19:08

Leopold

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Nun, die Fläche berechnet man mit Hilfe eines Integrals.
Ist dir aufgefallen, daß

$\begin{eqnarray*} y = 9 - (x-t)^2 \end{eqnarray*}$

ist? Was heißt das für die Parabel und damit für das Extremalproblem?
Sind für den Parameterwert $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ keine weiteren Angaben gemacht?

10.02.2007, 19:12

ich bin smile

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Den Flächeninhalt einer Funktion berechnet man durch das Integral jener. Hier hast du auch gleich die Grenzen gegeben.

Zitat:

Desweiteren ist gefragt : FÜr welchen Wert t wird der Flächeninhalt F(t) maximal?

Dazu musst du schon nach x integriert haben. Diese Stammfunktion musst du, weil nach dem t und einem Maximum gefragt wird, eben nach t ableiten und dann Null setzen. Nach dem Auflösen hast du dann das t.

Aber zu aller erst:

$\begin{eqnarray*} \mid \int_{0}^{3}~(-x^2+2tx-t^2+9)~dx \mid \end{eqnarray*}$

Edit: Danke für die Korrekturen Leopold Hammer

10.02.2007, 19:14

Leopold

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Vorsicht! Ist nach dem Integralwert oder dem Flächeninhalt gefragt? (Und eine Klammer um den Integranden würde sich auch hübsch machen!)

10.02.2007, 19:18

Niki_

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ich kann mit dem t nichts weiter ANfangen, mehr ist dazu nicht gegeben.
das Integral dann anzuwenden ist kein Problem.

ja stimmt die extremwerte ausrechnen mit der ersten Ableitung

10.02.2007, 19:22

Niki_

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Es ist nach dem Flächeninhalt gefragt.
Was ist den ein Integralwert?

10.02.2007, 19:24

Leopold

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Ein Integralwert kann ja auch negativ sein (wenn Teile der Fläche oder die ganze Fläche unterhalb der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse liegen). Ein Flächeninhalt ist dagegen immer positiv.

10.02.2007, 19:40

Niki_

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also der Flächeninhalt liegt immer oberhalb der x-Achse?? Mit der x-Achse als untere Grenze??

10.02.2007, 19:49

Leopold

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Wenn nach dem tatsächlichen Flächeninhalt gefragt ist, mußt du die Bereiche unterscheiden, in denen der Graph oberhalb bzw. unterhalb der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse liegt. Dafür sind die Nullstellen der Funktion verantwortlich.
Ich habe aber immer noch meine Zweifel, ob du die Aufgabe wirklich genau beschrieben hast. Denn da wären eine Menge Dinge zu bedenken (Fallunterscheidungen).

10.02.2007, 19:56

Niki_

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also ich habe sie genau so Formuliert.
Betrachtet werd eine vom Parameter abhängende Funktion.

11.02.2007, 11:14

Niki_

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also ich habe für das maximum t -9/6 raus kann das stimmen?

11.02.2007, 18:17

Leopold

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Wie gesagt, die Sache wird nicht so einfach. Am besten, man führt die Integration gar nicht erst vollständig aus, um lästige Fallunterscheidungen zu vermeiden. Hinterher muß man sowieso wieder differenzieren. Ich führe dir die Rechnung einmal zum großen Teil vor.

Zu berechnen ist

$\begin{eqnarray*} F(t) = \int_0^3~\left| 9 - (x-t)^2 \right|~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Die Betragsstriche braucht man, weil es um den Flächeninhalt geht (wie ich bei dir mehrmals nachgefragt habe). Beginnen wir mit der äußeren Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x) = \left| 9 - x^2 \right| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ besitzt als stetige Funktion eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} G'(x) = g(x) \end{eqnarray*}$

Die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto g(x-t) \end{eqnarray*}$ - das ist unser Integrand! - besitzt dann $\begin{eqnarray*} x \mapsto G(x-t) \end{eqnarray*}$ als Stammfunktion, denn die innere Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto x-t \end{eqnarray*}$ ist linear mit Ableitung 1.

Nun berechnet man das Integral:

$\begin{eqnarray*} F(t) = \int_0^3~g(x-t)~\mathrm{d}x = \left[ G(x-t) \right]_{x=0}^{x=3} = G(3-t) - G(-t) \end{eqnarray*}$

Jetzt leitet man ab (Ableitungen der inneren Funktionen nicht vergessen!):

$\begin{eqnarray*} F'(t) = G'(-t) - G'(3-t) = g(-t) - g(3-t) = \left| 9 - t^2 \right| - \left| 9 - (3-t)^2 \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left| 9 - t^2 \right| - \left| 6t - t^2 \right| \end{eqnarray*}$

Und jetzt das Übliche: Nullstellen von $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ bestimmen und untersuchen, ob relative Extrema vorliegen. Fallunterscheidung!

Und wenn du das jetzt nicht ganz verstanden hast, würde mich das nicht wundern. Immer noch habe ich nämlich den Verdacht, daß wir nicht alle Voraussetzungen an den Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ kennen oder es doch um den Integralwert statt des Flächeninhalts geht.

Ergebnis zur Kontrolle: Relative Extrema befinden sich bei $\begin{eqnarray*} t = - \frac{3}{2} \, \left( \sqrt{3} - 1 \right) \, , \ \frac{3}{2} \, , \ \frac{3}{2} \, \left( \sqrt{3} + 1 \right) \end{eqnarray*}$ .

11.02.2007, 21:03

Niki_

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Leopold du hast recht das habe ich nicht verstanden. Ich war richtig glücklich mit der Lösung von "ich bin smile" -die Abgeleitete Stammfunktion nach t umzustellen.

hier die Original Aufgabenstellung: ist eigentlich so wie ich es beschrieben habe oder habe ich was übersehen?

Betrachtet wird die von einem Parameter t abhängende Funktion

a) Bestimmen Sie den (vom Parameter t abhängenden) Flächeninhalt F(t) zwischen der Kurve und der x-Achse im Bereich .
b) Welcher Flächeninhalt F ergibt sich für t = 2 ?
c) Für welchen Wert für t wird der Flächeninhalt F(t) maximal?
d) Welche Masse ergibt sich für die in b) betrachtete Fläche, wenn eine Dichtefunktion angesetzt wird?
e) Sowohl der Parameter t als auch die rechte Intervallgrenze b des Bereichs seien fehlerbehaftet gegeben mit und . Schätzen Sie den Fehler des wie in b) zu ermittelnden Flächeninhalts F(t,b) ab und geben Sie die Grenzen für den Flächeninhalt F an.

11.02.2007, 21:17

Leopold

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Dann mußt du in a) ja doch $\begin{eqnarray*} F(t) \end{eqnarray*}$ explizit bestimmen. Im Prinzip kannst du so vorgehen wie in meinem Beitrag.

Bestimme zunächst eine Stammfunktion von

$\begin{eqnarray*} g(x) = \left| 9 - x^2 \right| \end{eqnarray*}$

für das Intervall $\begin{eqnarray*} [-3,3] \end{eqnarray*}$ (Betragsstriche können entfallen). Bestimme dann eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x >3 \end{eqnarray*}$ und eine für $\begin{eqnarray*} x<-3 \end{eqnarray*}$ (Betragsstriche weg, Vorzeichen ändern). Konstruiere dann aus den drei Stammfunktionen eine einzige Stammfunktion $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ für ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Dabei mußt du die Terme durch Anbringen geeigneter Integrationskonstanten so anpassen, daß bei $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ Stetigkeit vorliegt. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ dann von alleine gewährleistet. Schließlich ist dann $\begin{eqnarray*} G(x-t) \end{eqnarray*}$ Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \left| 9 - (x-t)^2 \right| \end{eqnarray*}$ . Mit ihr kannst du dann $\begin{eqnarray*} F(t) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Das wird aber nicht lustig werden ...

11.02.2007, 21:29

Niki_

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Entschuldigung aber mein kopier vorgang war nicht erfolgreich, habe das vergessene rot markiert

a) Bestimmen Sie den (vom Parameter t abhängenden) Flächeninhalt F(t) zwischen der Kurve y=f(x) und der x-Achse im Bereich 0<=x<=3 .
b) Welcher Flächeninhalt F ergibt sich für t = 2 ?
c) Für welchen Wert für t wird der Flächeninhalt F(t) maximal?
.

12.02.2007, 07:21

Leopold

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Ich habe einmal, wie in meinen vorangehenden Beiträgen erklärt, $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ berechnet:

$\begin{eqnarray*} G(x) = \begin{cases} -9x + \frac{1}{3} \, x^3 - 36 & \mbox{für} \ x \leq -3 \\ 9x - \frac{1}{3} \, x^3 & \mbox{für} \ -3 \leq x \leq 3 \\ -9x + \frac{1}{3} \, x^3 + 36 & \mbox{für} \ x \geq 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Mehrfachdefinition bei $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ ist nicht widersprüchlich, sondern demonstriert die Stetigkeit an diesen Stellen (nachrechnen!).

Und - wie schon gesagt:

$\begin{eqnarray*} F(t) = G(3-t) - G(-t) = G(3-t) + G(t) \end{eqnarray*}$

Letzteres gilt wegen der Punktsymmetrie des Graphen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ bzgl. des Ursprungs. Jetzt bleibt wohl nur noch eine Fallunterscheidung:

$\begin{eqnarray*} t \leq -3 \, , \ -3 \leq t \leq 0 \, , \ 0 \leq t \leq 3 \, , \ 3 \leq t \leq 6 \, , \ t \geq 6 \end{eqnarray*}$

Und nachdem ich jetzt so viel Arbeit für dich übernommen habe, werde ich eine Zeitlang schweigen: Jetzt bist du dran ...

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