Volumen der Sphäre - Nordpol ist Nullmenge |
| 26.11.2012, 18:53 | Joey_^ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Volumen der Sphäre - Nordpol ist Nullmenge Hallo, Es geht um die Volumenberechnung der 2-dim Untermannigfaltigkeit S^2 im R^3. Ein Atlas auf S^2 hat bekanntermaßen mindestens 2 Karten. Meine Ideen: In der Lösung wurde nun aber lediglich eine (!) Parametrisierung gewählt, die alles außer den Nordpol abbildet und integriert, und so das Volumen bestimmt. Es wurde dann eine Bemerkung gemacht, dass der Nordpol nicht relevant sei, weil dies eine Nullmenge ist. Das verstehe ich nicht ganz. Was genau soll das bedeuten? Ich habe von dem Begriff noch nichts gehört. Kann ich das auch bei anderen Untermannigfaltigkeiten verwenden? Mehr als eine Parametrisierung macht die Volumenberechnung nämlich ziemlich kompliziert. Viele Grüße |
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| 26.11.2012, 18:57 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Volumen der Sphäre - Nordpol ist Nullmenge naja der nordpol ist eben nur ein punkt und deshalb lebesguenullmenge, also ist das volumen von S^2 gleich dem volumen von (S^2)\{0}, wofür man wiederum nur eine karte braucht, bzw. was man mit nur einer parametrisierung darstellen kann. und ja, alles was hier verwendet wurde war die additivität des integrals, das darfst du natürlich auch bei anderen umf machen. lg |
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| 26.11.2012, 19:12 | Joey_^ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein Problem ist, dass ich überhaupt nicht verstehe was damit gemeint ist. Nullmenge.. Lebesguenullmenge hatten wir überhaupt nicht. Mir ist anschaulich auch nicht klar warum das keinen Unterschied macht. Bei einer anderen Aufgabe sind die Karten fast identisch. Es handelt sich um eine Art Zylinder und die Karten sind fast identisch bis auf einen "Streifen", der jeweils nicht abgebildet wird. Wie prüfe ich jetzt, ob ich in dem Fall genauso vorgehen kann und nur über eine Karte integrieren darf? |
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| 26.11.2012, 19:32 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Schule rechnet man zum Beispiel den Flächeninhalt eines Quadrats aus. Hat sich jemals irgendjemand Gedanken darüber gemacht, ob der Rand des Quadrats mitzählt oder nicht? Das ist letztendlich dasselbe in Grün... Zum Zylinder: Wenn du mit Streifen eine "Linie" meinst, so ist das wieder eine Lesbesque-Nullmenge. Wenn ihr das überhaupt nicht hattet, so kannst du das natürlich schwer selbst einsehen. |
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| 26.11.2012, 19:39 | Joey_^ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja genau, meine ich. Danke sehr. Ich denke dann bleibt mir wohl erstmal nichts anderes übrig als das Resultat ohne Beweis zu verwenden. |
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| 26.11.2012, 19:43 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Darf ich fragen, was du studierst und in welcher Reihenfolge du Analysis-Vorlesungen hörst? Weil das kommt mir schon recht ungewöhnlich vor, dass man auf irgendwelchen Mannigfaltigkeiten integriert, aber noch nicht das Lesbesque-Maß kennt. 
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| 26.11.2012, 20:21 | Joey_^ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe ganz normal Analysis 1/2 gehört und höre momentan Analysis 3. Wir hatten lediglich im zweiten Semester das Cauchy-Riemann-Integral in einer Dimension. In Analysis 3 sind wir mit Kurvenintegralen eingestiegen, weiter zu Differentialformen, Integration von Mannigfaltigkeiten und sind jetzt beim Satz von Stokes angelangt. Mir ist schon an einigen Stellen aufgefallen, dass die Themenreihenfolge und -auswahl unseres Profs etwas speziell ist. |
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| 26.11.2012, 20:25 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss mal ganz kurz etwas einwerfen: @tmo: Lebesgue schreibt sich mit g, nicht mit q 
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| 26.11.2012, 23:36 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie schon mal gesagt: nicht jeden ( vermeintlichen ) Schreibfehler muss man kommentieren. |
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| 26.11.2012, 23:39 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber wenn es um Fachbegriffe/Namen geht, bei denen man sich anscheinend nicht einfach nur vertippt hat, finde ich es durchaus angebracht, darauf hinzuweisen... |
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| 27.11.2012, 00:24 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
... zumal der Lebesgue am Board dauernd falsch geschrieben wird. |
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