Konvergent oder divergent?

26.11.2012, 21:41

donpain

Konvergent oder divergent?

Guten Abend!

Die Aufgabe:
Untersuchen sie auf Konvergenz und geben sie ggf. den Grenzwert an:
$\begin{eqnarray*} d_{n} = \sqrt[n]{(5^n)-n^23^n} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
Erst hatte ich gedacht, dass Kovergenz vorliegt, weil ich so umgeformt habe:
$\begin{eqnarray*} d_{n} = \sqrt[n]{(5^n)-n^23^n} = \sqrt[n]{(5^n)*(1-n^2(\frac{3}{5}) ^n)} \end{eqnarray*}$
Und dann dachte ich, weil 3/5 < 1, läuft (3/5)^n gegen 0, dann läuft auch das Produkt von $\begin{eqnarray*} n^2*(3/5)^n \end{eqnarray*}$ gegen 0 und dann hätte sich der Grenzwert 5 ergeben.
Aber das geht doch nicht oder? Weil ich dann 0 mit Unendlich multipliziere, weil ja $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ gegen unendlich läuft?
Sehe ich das richtig?

Wenn ja:
Dann dachte ich, dass die Folge divergent ist. Ich verstehe aber nicht, wie ich Divergenz zeigen kann. Ich habe versucht zu zeigen, dass sie nicht beschränkt ist, aber das wollte nicht so recht klappen.

Wie zeige ich also am besten die Kon-/Divergenz?

Grüße

26.11.2012, 22:27

Jello Biafra

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RE: Konvergent oder divergent?
GMHM wäre ne Möglichkeit für hinreichend große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ z.B. folgende Abschätzung zu folgern:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{5^n-n^23^n}\geq \frac{5n}{n+4}. \end{eqnarray*}$

27.11.2012, 08:49

Jello Biafra

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RE: Konvergent oder divergent?
Alternativ könntest Du zuächst zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^2\left(\frac 35\right)^n=0. \end{eqnarray*}$

Dann gibt es nämlich ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} 1> 1-n^2\left(\frac 35\right)^n> \frac 12\text{ für alle }n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann

$\begin{eqnarray*} 5> d_n> \frac 5{\sqrt[n]{2}}\text{ für alle }n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

27.11.2012, 09:40

donpain

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RE: Konvergent oder divergent?
Hallo und danke für deine Antworten!

Da das alles ziemlich neu und ungewohnt für mich ist, verzeih mir meine Nachfragen:

Zuerst zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^2\left(\frac 35\right)^n=0 \end{eqnarray*}$ ist, war ja auch erst meine Idee beim Ausklammern.
Das Problem hierbei ist für mich, dass ich das so darstellen würde:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^2\left(\frac 35\right)^n= \lim_{n \to \infty } n^2 * \lim_{n \to \infty } (\frac{3}{5} )^n = \infty *0 \end{eqnarray*}$
Und das ist ja nicht erlaubt.
Da wir uns erst am Anfang des Themas "Konvergenz" bewegen, wird von unseren Tutoren verlangt, dass wir bei so einer Grenzwertbildung so umformen, dass offensichtlich ist, wogegen ein Term konvergiert. Sprich sowas wie 1/n.
Ist das bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^2\left(\frac 35\right)^n=0. \end{eqnarray*}$ offensichtlich? Kann ich da einfach sagen, $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ läuft gegen Unendlich und $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{5} )^n \end{eqnarray*}$ gegen 0, daher ist der Grenzwert 0?
Dann würde ich doch wieder 0 * unendlich rechnen? >.< Ich bin verwirrt.

Und wenn ich erst $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^2\left(\frac 35\right)^n=0 \end{eqnarray*}$ zeige, warum kann ich dann nicht mit dem Ansatz mit dem Ausklammern weiter machen? :/

27.11.2012, 10:19

Jello Biafra

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RE: Konvergent oder divergent?
Tja, ohne zu wissen welche Pfeile ihr im Köcher habt, ist es schwierig einen zielführenden Tipp zu geben.

Aus diesem Grund habe ich ja auch bereits 2 Ansätze gegeben.
Beim 2., der auf den ersten Blick etwas suggestiver erscheint ist allerdings einiges zu investieren.
Du musst über die Monotonie der Wurzel Bescheid wissen und die Tatsache kennen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1. \end{eqnarray*}$

Beim ersten Ansatz ist 'nur' die Ungleichung zwischen geometrischem und harmonischem Mittel zu investieren.
Allerdings bedarf es einiger Umformungen und Abschätzungen.

27.11.2012, 10:34

Jello Biafra

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RE: Konvergent oder divergent?

Zitat:

Original von donpain
Ist das bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^2\left(\frac 35\right)^n=0. \end{eqnarray*}$ offensichtlich?

Nein, das ist keineswegs offensichtlich.

Zitat:

Original von donpain
Kann ich da einfach sagen, $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ läuft gegen Unendlich und $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{5} )^n \end{eqnarray*}$ gegen 0, daher ist der Grenzwert 0?

Das führt hier zwar zu keiner falschen Aussage ist aber keinesfalls einige logische Folgerung und somit auch kein Beweis.
Ergo: Zero Points!

Zitat:

Original von donpain
Und wenn ich erst $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^2\left(\frac 35\right)^n=0 \end{eqnarray*}$ zeige, warum kann ich dann nicht mit dem Ansatz mit dem Ausklammern weiter machen? :/

Weil Du dabei folgende Implikation nutzt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}x_n=1\Longrightarrow\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=1 \end{eqnarray*}$

was ebenfalls so ohne Weiteres nicht klar ist.

27.11.2012, 10:50

donpain

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RE: Konvergent oder divergent?
Okay, ich verstehe, warum ich das nicht so machen darf, wie erst geplant.

Also die Monotonie der Wurzel dürfen wir verwenden. Hilft aber nicht, da wir $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1 \end{eqnarray*}$ noch nicht wissen.
Die Ungleichung vom GM und HM ist bekannt, also müsste die erste Variante ja machbar sein.

Das ging mir allerdings viel zu schnell.
Also zeigen muss ich ja: $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0\exists N\in \mathbb N \forall n\geq N:| a_{n}-a |< \varepsilon \end{eqnarray*}$
Richtig?

Dann fange ich so an:
Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_{0} } < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

So und jetzt muss ich, wenn ich das richtig verstanden habe, erstmal ein N wählen?

27.11.2012, 11:03

Jello Biafra

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RE: Konvergent oder divergent?
Wenn es Dir (z.B. mit GMHM) gelingt eine (möglichst einfache) Nullfolge $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass

$\begin{eqnarray*} |d_n-5|<a_n\text{ für alle }n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

für irgendein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , dann sollte alles klar sein - oder?

P.S.: Bin jetzt erstmal raus - wer mag kann gerne übernehmen.

27.11.2012, 12:06

RavenOnJ

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Du kannst den Limes

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^2\left(\frac{3}{5}\right)^n \end{eqnarray*}$

auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{\left(\frac{5}{3}\right)^n} \end{eqnarray*}$

Kennst du die Regel von L'Hospital? Die könntest du dann anwenden. Dass $\begin{align*} n\in\mathbb N \end{align*}$ ist für den Limes dabei unerheblich, du kannst auch $\begin{align*} n\in\mathbb R \end{align*}$ annehmen.

27.11.2012, 12:17

donpain

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RE: Konvergent oder divergent?

Zitat:

Kennst du die Regel von L'Hospital? Die könntest du dann anwenden. Dass ist für den Limes dabei unerheblich, du kannst auch annehmen.

Nein kenne ich leider nicht. :/

Also ich habe jetzt erstmal Jellos Ansatz verfolgt, bekomme das aber noch nicht hin.
$\begin{eqnarray*} |d_{n} -5| = |\sqrt[n]{5^n-n^2*3^n} -5| \end{eqnarray*}$
Und das will ich jetzt so umformen, dass ich eine <Nullfolge da stehen habe, habe ich das richtig verstanden?
Aber wie geht das? Wie kann ich GMHM anwenden? Ich muss ja erstmal die Betragsstriche wegbekommen? Und außerdem ist das HM doch kleiner als das GM, sprich wenn ich die Wurzel irgendwie abschätzen würde, hätte ich dann doch ein > kein <?
Ich blick da noch nicht durch, kann vll. jemand versuchen mich da Schritt für Schritt ranzuführen?

27.11.2012, 14:03

Jello Biafra

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RE: Konvergent oder divergent?
Egal welchen Ansatz Du verfolgst; die Tatsache

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} n^2\left(\frac 35\right)^n=0 \end{eqnarray*}$

ist in jedem Fall hilfreich.

Um diese Aussage zu beweisen, findest Du hier: matheboard.de/thread.php?threadid=507291 2 zielführende Ansätze.

Aus dieser Tatsache folgt nun die Existenz eines $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} n^2\left(\frac 35\right)^n\leq\frac 12\text{ für alle } n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1-n^2 \left( \frac 35 \right)^n} \leq 2 \text{ für alle } n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

Offenbar gilt außerdem folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} 5\geq d_n=\sqrt[n]{5^n-n^2 3^n}. \end{eqnarray*}$

Mit GMHM schätzen wir nun nach unten ab:

$\begin{eqnarray*} d_n=\sqrt[n]{5^{n-1}\left(5-3n^2\left(\frac 35\right)^{n-1}\right)}\geq\frac {5n}{(n-1)+\frac 1{1-n^2\left(\frac 35\right)^n}}\geq\frac{5n}{n+1}\text{ für alle } n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

Insgesamt folgt also:

$\begin{eqnarray*} 5\geq d_n\geq \frac{5n}{n+1}\text{ für alle } n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

Per Einschließungskriterium oder auch über die Konvergenzdefinition war's das dann.

27.11.2012, 21:04

donpain

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RE: Konvergent oder divergent?
Jello,
ich danke Dir erstmal für deine Bemühungen.

Ich werde mir das morgen in der früh alles nocheinmal in Ruhe durchgucken und versuchen, das nachzuvollziehen.
Mich als 1. Semesterstudent überrollt das alles ein bisschen und ich muss versuchen Schritt für Schritt nachzuvollziehen. Alleine zu verstehen, warum man bei $\begin{eqnarray*} n^2\left(\frac 35\right)^n\leq\frac 12 \end{eqnarray*}$ die 1/2 wählt und nicht 1 oder 1/1000 brauch schon seine Zeit. Ich hoffe mit ausreichend Zeit & Übung wird das besser...

Schönen Abend noch & Danke!

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