Mittlerer Zinssatz bei variablen Zinssätzen einer Rente

26.11.2012, 22:49	Guest1Z	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittlerer Zinssatz bei variablen Zinssätzen einer Rente Meine Frage: Man zahlt am Anfang des Jahres 2000 EURO aufs Konto ein. 3 Jahre ist der Zinsatz 2,0%, 2 Jahre 3,5% und 4 Jahre 4,0%. Die Zinsen werden am Jahresende verrechnet. Meine Ideen: a) Ich habe mit dem vorschüssigen Rentenendwert jeweils zunächst nach 3 Jahren den Endwert berechnet, dann erneut für 2Jahre aber den 3Jährigen Endwert mit verzinst um den Endwert für weitere 2Jahre zu bekommen und dann diesen Wert wieder mitverzinst um den Endwert nach weiteren 4 Jahren zu bekommen. Somit weiß ich den Endwert am Ende der 9 Jahre. b) Ich habe den Durchschnittszinssatz über das geometrische Mittel berechnet. c) Ich habe den Endwert nach 9 Jahren mit dem Durchschnittszinsatz berechnet. Er weicht vom tatsächlichen Endwert aus a) ab. a) bis c) konnte ich berechnen. d) Aber weiß jemand was der Grund für die Abweichung ist ?
27.11.2012, 14:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es sich nur um eine einmalige Einzahlung handelt, ist dies keine Renten-, sondern eine einfache Kapitalendwertberechnung (Titel entsprechend geändert!). Es kommt darauf an, WIE du den durchschnittlichen Zinssatz (geometrisches Mittel wovon?) berechnet hast. Jedenfalls berägt dieser rd. 3,22% und liefert dann auch den richtigen Endwert. Beachte, dass die Zeitdauer für die verschiedenen Zinssätze nicht gleich ist. mY+
27.11.2012, 14:55	gast2711	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch den Endwert jeder einzelnen Einzahlung berechnen: $\begin{eqnarray} 20001,02^31,035^21,04^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 20001,02^2 \end{eqnarray}$ .... usw.
27.11.2012, 17:49	Guest1Z	Auf diesen Beitrag antworten »
vorschüssiger Rentenendwert Hallo mYthos und gast2711, Vielen Dank für Eure Antworten. Entschuldigung, die Zahlungen sind regelmäßig während der 9 Jahre am Jahresanfang. b) $\begin{eqnarray} 9\sqrt{x} 1,02x^{n} 31,035x^{n} 21,04x^{n} 4=3,22 \end{eqnarray}$ Den Durschschnittszins von 3,22% habe ich auch errechnet und weiß nun, dass er richtig ist. Viellen Dank Ich denke, dass ich die Endwerte richtig berechnet habe, da bin ich mir recht sicher. Nur kommt nicht bei der Berechnung des Endwertes mit einem Durchschnittszins von 3,22% auf 9 Jahre ein anderes Ergebnis raus als wenn ich wie in a) ganz genau die Endwertre für die entsprechenden Zeiträume mit den ganauen Zinssätzen berechne und den Endwert vom Vorjahr mitverzinse ? Meiner Meinung nach ist der Endwert mit der Durchschnittsverzinsung ungenauer, was auch richtig sein müsste. Nur warum ist das so ? Das müsste ich noch beantworten und da hänge ich. Vielen Dank
28.11.2012, 01:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider hast du bei der Angabe ein wichtiges Detail, nämlich, dass die Einzahlungen regelmäßig erfolgen, unterschlagen. Das ändert natürlich die Sache entscheidend und auch den Tiltel muss ich wieder zurückändern, grrrr. In diesem Fall kann man auch den Barwert aller Zahlungen berechnen, indem man alle drei Barwerte mit den verschiedenen Zinssätzen addiert. Und es ändert sich - für den mittleren Zinssatz - auch nichts, ob man mit 2000.- € oder 1.- € rechnet, also setzen wir die Rate einfach 1: $\begin{eqnarray} B = \frac {v_1^3 - 1}{v_1 - 1} + v_1^3 \frac {v_2^2 - 1}{v_2 - 1} + v_1^3 v_2^2 \frac {v_3^4 - 1}{v_3 - 1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_i = \frac 1 {r_i} \ \text{mit} \ r_i = 1 + \frac{p_i}{100} \end{eqnarray}$ Dieser Barwert wird mit jenem gleichgesetzt, welcher bei gleichbleibendem Zinssatz hindurch der 9 Jahre entsteht: $\begin{eqnarray} B = \frac {v^9 - 1}{v - 1} \end{eqnarray}$ v ist der Abzinsungsfaktor des mittleren (während der 9 Jahre gleichbleibenden) Zinssatzes (r): $\begin{eqnarray} r = \frac 1 v \end{eqnarray}$ Wie man sieht, kann bei der Berechnung des mittleren Zinssatzes infolge der Summenbildung der verschieden zusammengesetzten Terme von einem geometrischen Mittel nicht mehr die Rede sein. Beim Gleichsetzen entsteht eine Gleichung 9. (8.) Grades für v ( $\begin{eqnarray} v \neq 1 \end{eqnarray}$ ), welche man nur näherungsweise lösen kann (v = 0,974 bzw. r = 1,0268 --> p = 2,68% = rd. 2,7%) mY+

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