Basis eines LGS

27.11.2012, 10:49	Baschti	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines LGS Ich soll eine Basis der Lösungsmenge des LGS finden: (1) 4x1+5x2-x3+3x4=0 (2) 2x1+2x2-x3 =0 Hab mit basen echt so meine Probleme wegen den ganzen neuen begriffen und so... so hab ichs mal versucht (ka ob des stimmt): (2) x3= 2x1+2x2 in (1) eingesetzt: (1) x4=4x1+5x2-2x1-2x2 --> x4=2x1+3x2 Ich seh weiter keine möglichkeit das zu vereinfachen :P, oder? Was mach ich also weiter? Kann ich dann x1 und x2 als frei wählbare Variable definieren? Meine lösung wäre dann: Basis: (r,s,2r+2s,2r+3s) Ich bitte euch um Hilfe ob ich völlig aufm falschen dampfer bin oder in wie weite mein ansatz stimmt... Lg Baschti
27.11.2012, 11:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz stimmt, nicht aber die Lösung! Du hast bei x4 vergessen, durch 3 zu dividieren. mY+
27.11.2012, 11:20	Baschti	Auf diesen Beitrag antworten »
ah shit hab mich in der aufgabenstellung vertippt... die 3 vor x4 weglassen die is nicht da und x4 wird abgezogen! ...sorry also (1) 4x1+5x2-x3-x4=0 des is die Gleichung! heißt dass dann aber, dass meine Lösung stimmt oder wie? (waere fast schon zu schön um wahr zu sein)
27.11.2012, 14:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall stimmt es (die Lösungen), aber die Basis des Lösungsraumes hast du deswegen noch nicht. Da das lGS über einen 4-dimensionalen Vektorraum gegeben ist, muss eine Basis für alle Lösungen aus einer bestimmten Anzahl linear unabhängiger 4-dimensionaler Vektoren bestehen. Diese Anzahl ist gleich dem Rang der Koeffizientenmatrix. Infolge der zwei Nullzeilen ist der Freiheitsgrad für die Wahl zweier Variablen als Parameter r, s gleich 2 (n - r = 4 - 2 = 2), das hast du auch bei der Lösung richtig angesetzt. Bilde nun aus (r; s; 2r + 2s; 2r + 3s) zwei linear unabhängige Vektoren* v1 und v2, die den gesamten Lösungsraum aufspannen. Dies ist die gesuchte Basis. () Tipp: Stelle die Gesamtlösung als rv1 + s*v2 dar! mY+

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