grenzwert von stetigen funktionen

27.11.2012, 12:56

nicole93

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grenzwert von stetigen funktionen

Meine Frage:
hallo,
ich habe schon wieder ein problem damit, die grenzwerte folgender aufgaben zu bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{ln(arctan(1-x)+3}{x-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi } \frac{x²+1}{ctan(x)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
sind denn der arctan und der ctan stetige funktionen? meines erachtens an sich nicht, es seidenn man grenzt den definitionsbereich ein?
denn der ln ist ja stetig und wir haben das in der vorlesung so gemacht, da der ln stetig ist, konnten wir den lim davon bestimmt, also zum beispiel wäre das ja für den ersten grenzwert ln(lim arctan(1-x)+3)und dann haben wir für x einfach den grenzwert eingesetzt, geht das in diesem fall auch?

27.11.2012, 13:24

Mazze

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Offenbar ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ctan(x)} = tan(x) \end{eqnarray*}$

Daher kannst Du Aufgabe 2 sehr leicht erschlagen.

Zur ersten Aufgabe :

Soll es im Zähler

$\begin{eqnarray*} \ln(\arctan(1 - x)) + 3 \end{eqnarray*}$

sein oder

$\begin{eqnarray*} \ln(\arctan(1 - x) + 3) \end{eqnarray*}$

?

27.11.2012, 14:35

nicole93

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es heißt ln(arctan(1-x)+3)
die drei gehört noch zum ln

wäre die zweite funktion dann:
tan(x)(x²+1)
an der stelle pi geht der tangens doch ins minus unendliche, oder?

27.11.2012, 14:46

Mazze

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Zitat:

an der stelle pi geht der tangens doch ins minus unendliche, oder?

Nö, $\begin{eqnarray*} \tan(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)} = \frac{0}{-1} \end{eqnarray*}$

27.11.2012, 15:12

nicole93

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dann ist der grenzwert bei der aufgabe 0?
tan(pi)=0
0(pi²+1)=0

und was mache ich mit der anderen funktion?

27.11.2012, 15:18

Mazze

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Zitat:

dann ist der grenzwert bei der aufgabe 0?

Ja!

Bei der zweiten Aufgabe hängt der Grenzwert davon ab, ob Du von Links oder von Rechts kommst.

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27.11.2012, 15:27

nicole93

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ich komme von links

27.11.2012, 15:53

Mazze

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Nehmen wir an wir haben zwei Zahlenfolgen $\begin{eqnarray*} a_n \to a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \to 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray*}$

was? Wie kann Dir das hier helfen? (Logarithmus und Arcustangens sind stetig).

27.11.2012, 15:57

nicole93

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wenn das so ist, dann habe ich doch:
ln(arctan(1-1)+3)/(1-1)
ln(3)/0

aber ich darf nicht durch 0 teilen!

27.11.2012, 15:58

Mazze

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Zitat:

aber ich darf nicht durch 0 teilen!

Du teilst doch auch nicht durch null. Du berechnest den grenzwert wenn x gegen 0 geht.

27.11.2012, 16:13

nicole93

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dann ist der grenzwert doch 0?

27.11.2012, 16:20

Mazze

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Nein, es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1}\ln(\arctan(1 - x) + 3) = \ln(3) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1}x - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert ist des Quotienten ist dann mit Sicherheit nicht 0. Wie gesagt beachte meine obige Frage :

Zitat:

Nehmen wir an wir haben zwei Zahlenfolgen $\begin{eqnarray*} a_n \to a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \to 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray*}$ ?

27.11.2012, 16:21

nicole93

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aber wenn doch ln(3) = a ist und b=0, dann darf ich die folge doch gar nicht bestimmen! wir hatten das immer so formuliert, dass b nicht 0 sein darf, damit man den grenzwert der folge bestimmen kann!

27.11.2012, 16:31

Mazze

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Zitat:

aber wenn doch ln(3) = a ist und b=0, dann darf ich die folge doch gar nicht bestimmen! wir hatten das immer so formuliert, dass b nicht 0 sein darf, damit man den grenzwert der folge bestimmen kann!

Diese Aufgabe zielt genau darauf ab. Du sollst Dir tatsächlich mal Gedanken darüber machen was in diesem Fall passiert. Es ist richtig dass Du nicht einfach Grenzwert a durch Grenzwert b rechnen darfst. Es stellt sich sogar die Frage ob der Grenzwert überhaupt existiert.

27.11.2012, 16:33

nicole93

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oh man

unglücklich

kann ich die funktion zeichnen lasse, von irgendeinem programm?

27.11.2012, 16:36

Mazze

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Klar kannst Du, allerdings könntest Du auch einfach mal überlegen was der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray*}$

ist, wenn $\begin{eqnarray*} a_n \to a \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \to 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Fang doch mal leicht an. Was wäre denn :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

?

27.11.2012, 16:40

nicole93

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da wäre der grenzwert doch unendlich, weil x zwar immer kleiner wird, aber der bruch so immer größer?

27.11.2012, 16:41

Mazze

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Zitat:

da wäre der grenzwert doch unendlich, weil x zwar immer kleiner wird, aber der bruch so immer größer?

Richtig, und wo ist da der Unterschied zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} a_n \to a \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \to 0 \end{eqnarray*}$

?

27.11.2012, 16:44

nicole93

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da gibt es keinen... wäre dann der grenzwert der funktion unendlich?

27.11.2012, 16:48

Mazze

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Zitat:

da gibt es keinen... wäre dann der grenzwert der funktion unendlich?

Naja, das hängt dann explizit an den Folgen $\begin{eqnarray*} b_n,a_n \end{eqnarray*}$ . Klar ist, dass der Quotient dann divergiert. Je nach beschaffenheit der Folge kann der Quotient dann gegen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ divergieren.

Für unsere Aufgabe wissen wir aber das der Nenner stets kleiner als Null ist(da wir von Links kommen wie Du sagtest). Damit können wir den Spaß erschlagen.

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