Integralrechung - Einführung (x^2) bis b (Ober- und Untersumme)

27.11.2012, 16:33

Geniuz

Integralrechung - Einführung (x^2) bis b (Ober- und Untersumme)

Hey,

ich verzweifle.

Ich muss die Unter und Obersumme von der Funktion x^2 bis b berechnen (b kan jede Zahl sien, nehme ich an?

So, ich habe vorher die Ober und Untersumme für b=2 und n =4 oder wie auch immer berechnet, das war alles kein Problem. Nur jetzt kommt das Allgemeine und ich verzweifle regelrecht. Vielleicht findet sich ja jemand der mit mir das eben Schritt zu Schritt bearbeitet.

Mein aktueller Stand.
Man will ja die Fläche so exakt wie möglich bestimmen, deshalb nimmt man unedlich viele Rechtecke.

So und man nimmt ja Delta X für die Breite.

Ich gehe demnach genauso vor, wie ich es bei den bestimmten Werte (b=2 n=4) vorgegangen bin.

Un= Delta X * f(x0) + Delta X * f(x1) [......] so und dann kommt irgendwie Delta X * f(n-1) * Delta X ??

das verstehe ich nicht ganz, im Grunde das Delta X am Ende. Da wird ja immer 1 weniger dann oder wie?
Was käme dazwsichen hin, also in den Bereich [.....]

(klein 1, also der Index, das ist ja die dementsprechende Höhe).

27.11.2012, 16:39

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wollen wir mal Schritt für Schritt vorgehen:
Wie breit ist bei n-gradiger Feinheit der Unterteilung des Integrationsintervalls [0,b] das $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ ?

27.11.2012, 16:42

Geniuz

Auf diesen Beitrag antworten »

Delta X ist doch immer b/n

27.11.2012, 17:06

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau ...
Versuch erst mal folgende Summe nachzuvollziehen und sie dann auf die gegebene Funktion anzuwenden.

$\begin{eqnarray*} U_n=\frac bn \left(f(0) + f\left(\frac bn\right)+\ldots+f\left(i\,\frac bn\right)+\ldots+ f\left(\frac{(n-1)b}n\right)\right) \end{eqnarray*}$

27.11.2012, 17:23

Geniuz

Auf diesen Beitrag antworten »

Fläche der Untersumme = Breite der Rechtecke mal die Höhe von f(0).

So weit komme ich problemlos mit.

dann kommt ja die Breite (Delta X)(steht ja vor der Klammer, gilt also für denen Wert in der Klammer) mal den y-Wert von (b/n) also für Delta X.

D.h man multipliziert die Breite Delta X mit der Höhe von Delta X. Davor denk ich mir mal ne unsichtbare 1. Also sozusagen für den ersten Balken.

dann kommt dieses i, wovon ich ehrlich gesagt die Bedeutung noch nicht verstanden habe.

27.11.2012, 18:33

Geniuz

Auf diesen Beitrag antworten »

hm schade, vielleicht kann jemand anderes übernehmen wenn du grad keine Zeit hast?

27.11.2012, 18:50

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Das i steht für den i-ten Balken.

27.11.2012, 18:51

Geniuz

Auf diesen Beitrag antworten »

ok verstanden.

http://www.mathe-schule.de/download/pdf/...och_2_a_b_L.pdf

ich schau mir das grade an und stecke jetzt bei der 2. Zeile bei der Untersumme fest.

27.11.2012, 19:22

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo genau hakt es denn da?

27.11.2012, 19:45

Geniuz

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathewolf
Genau ...
Versuch erst mal folgende Summe nachzuvollziehen und sie dann auf die gegebene Funktion anzuwenden.

$\begin{eqnarray*} U_n=\frac bn \left(f(0) + f\left(\frac bn\right)+\ldots+f\left(i\,\frac bn\right)+\ldots+ f\left(\frac{(n-1)b}n\right)\right) \end{eqnarray*}$

der letzte Term/Ausdruck - wie kommt er zustande?

27.11.2012, 21:58

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Der letzte Balken endet exakt bei x=b. Bei der Untersumme einer monoton wachsenden Funktion wird zur Bestimmung der Länge der Balken jeweils der Funktionswert zum linksseitigen x-Wert genommen. Beim ersten Balken $\begin{eqnarray*} f\left(0\cdot\frac bn\right) \end{eqnarray*}$ , beim zweiten $\begin{eqnarray*} f\left(1\cdot\frac bn\right) \end{eqnarray*}$ , beim dritten Balken $\begin{eqnarray*} f\left(2\cdot\frac bn\right) \end{eqnarray*}$ und beim letzten, dem n-ten Balken eben $\begin{eqnarray*} f\left((n-1)\cdot\frac bn\right) \end{eqnarray*}$

29.11.2012, 19:46

Geniuz

Auf diesen Beitrag antworten »

danke