Zwei Reihenwerte

27.11.2012, 18:16

StudentT

Zwei Reihenwerte

Hallo zusammen!

Es geht um zwei konvergente Reihen, deren Wert berechnet werden soll. Es handelt sich zum einen um

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty {\binom{k+m}{m}}^{-1}=\frac{1}{m-1}\;,\mathbb N\ni m\geq 2\;. \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist nur meine Vermutung nach einer Recherche mit Wolframalpha. Leider fällt mir auch nach diversem Herumspielen mit Formeln zu den Binomialkoeffizienten, sowie Ausschreiben derselben etc. nicht wirklich etwas auf, wie man da weiterkommt.

Die zweite Summe lautet

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k^2-m^2} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(2m+k)}\;, \end{eqnarray*}$

wobei die Umformung von mir ist, mich aber hier leider auch nicht wirklich weitergebracht hat. Laut Wolframalpha ist sie zwar konvergent, das Ergebnis aber eher so undurchsichtig, dass ich mir nicht erklären kann, wie Erstsemester darauf kommen sollen. Vielleicht würde es hier aber schon reichen, eine möglichst gute Abschätzung zu machen oder so.

In beiden Fällen bin ich für sachdienliche Hinweise sehr dankbar!

Gruß
Markus

27.11.2012, 20:28

Jello Biafra

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RE: Zwei Reihenwerte

Zitat:

Original von StudentT
Die zweite Summe lautet

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k^2-m^2} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(2m+k)}\;, \end{eqnarray*}$

Die Umformung stimmt und wenn Du eine Partialbruchzerlegung machst, dann kannst Du per Teleskopsummentrick zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k^2-m^2} =\frac 1{2m}\operatorname{H}_{2m}\text{ mit }\operatorname{H}_n:=\sum_{k=1}^n \frac 1k. \end{eqnarray*}$

27.11.2012, 20:38

HAL 9000

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Auch die erste Reihe ist eine (versteckte) Teleskopreihe, und zwar basierend auf

$\begin{eqnarray*} \binom{k+m}{m}^{-1} = \frac{m}{m-1} \left( \binom{k+m-1}{m-1}^{-1} - \binom{k+m}{m-1}^{-1} \right) \end{eqnarray*}$ .

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