Konvergenz zeigen

27.11.2012, 20:57

donpain

Konvergenz zeigen

Abend!

Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} c_{n} =\frac{a_{1}+...+a_{n} }{n} \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert, wenn gilt, dass $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ Nullfolge ist?

Vorwissen über Reihen ist nicht vorhanden, darf dementsprechend auch nicht genutzt werden.
Geht das dann überhaupt?

Grüße

27.11.2012, 21:04

rza

Auf diesen Beitrag antworten »

hi , da $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ schreib hier nochmal auf was es bedeutet das die folge gegen null konvergiert ... kann man die folge nicht abschätzen ab einen gewissen index ?

27.11.2012, 21:08

donpain

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey!

Zitat:

schreib hier nochmal auf was es bedeutet das die folge gegen null konvergiert

Da $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert, gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0\exists N\in \mathbb N \forall n\geq N: |a_{n} -0|<\epsilon \end{eqnarray*}$

27.11.2012, 21:16

rza

Auf diesen Beitrag antworten »

okay also das heisst wenn du nun ein epsilon fix!! wählst kannst du ein gros n finden sodass du alle folgenglieder ab dem index abschätzen kannst ...
spalte mal die summe im zähler auf

28.11.2012, 07:20

donpain

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

spalte mal die summe im zähler auf

Wie die Summe aufspalten?
Meinst du so:
$\begin{eqnarray*} c_{n} =\frac{a_{1}+...+a_{n} }{n}= \frac{a_{1} }{n} + \frac{a_{2} }{n} + ... + \frac{a_{n} }{n} \end{eqnarray*}$

28.11.2012, 20:42

donpain

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich habe jetzt versucht so weiter zu machen:

Da nach Voraussetzung gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} =0 \end{eqnarray*}$ , gilt auch:
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0\exists N\in \mathbb N :|a_{n} +a_{n+1} |<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ .

Kann ich jetzt nicht sagen, dass somit der Zähler sich einer bestimmten Zahl annähert, der Nenner aber gegen Unendlich strebt und somit $\begin{eqnarray*} c_{n} =\frac{a_{1}+...+a_{n} }{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert?
Wie kann ich diesen Schritt mathematisch zeigen/formulieren?

28.11.2012, 20:59

Jello Biafra

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von donpain

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0. \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert, gibt es ein

$\begin{eqnarray*} n_0\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \left| a_n \right|<\varepsilon\text{ für alle }n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

Setze nun

$\begin{eqnarray*} K:=\sum_{k=1}^{n_0}a_k. \end{eqnarray*}$

Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac 1n\sum_{k=1}^n a_k\right| =\left|\frac Kn+\frac 1n\sum_{k=n_0+1}^n a_k\right|\leq \frac{|K|}n+\frac 1n\sum_{k=n_0+1}^n \varepsilon\leq \frac{|K|}n+\varepsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt musst Du nur noch investieren, dass

$\begin{eqnarray*} \left(\frac Kn\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ Nullfolge ist.

28.11.2012, 21:19

donpain

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das verstehe ich soweit!
Nur dieser dieser Schritt will nicht in meinen Kopf:

$\begin{eqnarray*} \frac{|K|}n+\frac 1n\sum_{k=n_0+1}^n \varepsilon\leq \frac{|K|}n+\varepsilon \end{eqnarray*}$

Wieso ist $\begin{eqnarray*} \frac 1n\sum_{k=n_0+1}^n \varepsilon\ \end{eqnarray*}$ sicher kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ? Wir hätten doch die Summe unendlich vieler Epsilon im Zähler und im Nenner n? O.o

Zitat:

Jetzt musst Du nur noch investieren, dass $\begin{eqnarray*} \left(\frac Kn\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ Nullfolge ist.

Kann ich an dieser Stelle einfach sagen, dass K Nullfolge ist, weil K nur noch aus der Summe endlich vieler Summanden besteht? Nämlich $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ Summanden? Und somit K eine konstante Zahl ist, und wenn wir die durch n teilen und n gegen unendlich läuft, ist der Grenzwert 0?

28.11.2012, 21:50

donpain

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben jetzt ja $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ nach oben abgeschätzt.
Wenn ich jetzt zeigen will, dass $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, muss ich dann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{|K|}n+\varepsilon \end{eqnarray*}$ für n gegen Unendlich gegen 0 läuft, oder darf ich das Epsilon einfach weglassen und wenn ja warum? Weil wenn ichs nicht weglasse würden wir ja gegen Epsilon konvergieren. >.<

Tut mir Leid, wenn meine Fragen doof sind, ich versuch nur mich langsam in das Thema reinzubeißen. smile

28.11.2012, 22:17

Jello Biafra

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von donpain
Okay, das verstehe ich soweit!
Nur dieser dieser Schritt will nicht in meinen Kopf:

$\begin{eqnarray*} \frac{|K|}n+\frac 1n\sum_{k=n_0+1}^n \varepsilon\leq \frac{|K|}n+\varepsilon \end{eqnarray*}$

Na ja, es ist doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n_0+1}^n \varepsilon\leq\sum_{k=1}^n \varepsilon=n\varepsilon \end{eqnarray*}$

weil die linke Summe einfach weniger Summanden hat.

Zitat:

Original von donpain
Kann ich an dieser Stelle einfach sagen, dass K Nullfolge ist, weil K nur noch aus der Summe endlich vieler Summanden besteht?

$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist doch eine Konstante.

Demnach ist $\begin{eqnarray*} \frac Kn=K\cdot\frac 1n \end{eqnarray*}$ laut Grenzwertsätzen eine Nullfolge.

Also gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_1\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \left|\frac Kn\right|<\varepsilon\text{ für alle } n\geq n_1. \end{eqnarray*}$

29.11.2012, 06:55

donpain

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz zeigen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist doch eine Konstante. Demnach ist $\begin{eqnarray*} \frac Kn=K\cdot\frac 1n \end{eqnarray*}$ laut Grenzwertsätzen eine Nullfolge.

Okay, das ist soweit klar.

Bleibt für mich aber immernoch das Problem, dass ich ja zeigen muss, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{|K|}n+\varepsilon \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert und nicht nur $\begin{eqnarray*} \frac{|K|}n \end{eqnarray*}$ .

Aber wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{|K|}n = 0 \end{eqnarray*}$ , dann wäre ja $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{|K|}n+\varepsilon =\varepsilon \end{eqnarray*}$ und das muss ja aber 0 sein, damit $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert?

Ich kann ja nun auch nicht sagen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_{1} \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{|K|}{n} +\varepsilon\geq \frac{|K|}{n}+\frac{|K|}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{|K|}{n} +\frac{|K|}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ , weil dann habe ich ja nach unten abgeschätzt und weiß ja nicht mehr ob ich überhaupt noch über
$\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ liege?

29.11.2012, 08:20

Jello Biafra

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz zeigen
Nach dem zuvor Gesagten gilt doch nun für alle $\begin{eqnarray*} n\geq \max(n_0,~n_1) \end{eqnarray*}$ folgendes:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac 1n\sum_{k=1}^n a_k\right|<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon \end{eqnarray*}$

was definitionsgemäß bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \left(\frac 1n\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ Nullfolge ist.

30.11.2012, 08:09

donpain

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz zeigen
Danke für deine Mühe, Jello!

Jetzt habe ich alles verstanden!
Grüße

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz zeigen

Verwandte Themen