Konvergenz von Reihen

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Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen
Meine Frage:
Hallo,

ich habe zu einer Aufgabe unseres derzeitigen Übungsblattes schon einen Ansatz, nun habe ich jedoch keine Ahnung wie ich da weiterrechnen soll.

Vielleicht könnt ihr mir da ein wenig helfen smile

Hier mal die Aufgabe:

Welche Reihen konvergieren?

, wobei x1 = 1 und



Meine Ideen:
Ich habe mir zuerst mal die ersten Folgeglieder aufgeschrieben:

1, 1/4, 5/16, 5/64, 25/256, ...

Also meine Idee wäre diese rekursive Folge in eine explizite umzuschreiben.


1. Ansatz:
Jetzt habe ich mir überlegt, .
Geht das?

2. Ansatz:
Fallunterscheidung für gerade und ungerade n
Also für gerade n -->


Und für ungerade n -->

Stimmt das soweit?
Wie zeige ich jetzt, ob das konvergent ist oder nicht?

Vielen Danke schonmal smile
rza Auf diesen Beitrag antworten »

hey du kannst ja rekursiv einsetzten für x_n und bekommst ein produkt ... mach das mal und mach dann ne fallunterscheidung
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

mmmh das verstehe ich nicht ganz unglücklich kannst du vlt mal aufschreiben wie du das meinst?
ich soll ja irgenwie begründen, warum das konvergiert oder eben nicht konvergiert ...
rza Auf diesen Beitrag antworten »

also du betrachtest naja jedoch kannst du auch wiederum schreiben ... jetzt setz das mal in das erste ein ... und das kannst du immer so weiter machen
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann hätte ich ja ein Produkt mit
usw. oder?

Wie oft soll ich das denn machen?

Und dann mache ich eine Fallunterscheidung?
Mmmh wie fange ich die denn mit diesem Produkt an???
rza Auf diesen Beitrag antworten »

jo und das kannst du ja bis x1 machen ... und dann spaltest du das produkt auf in gerade und ungerade terme
 
 
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

hört sich gut an....kannst du mir bitte verraten wie ich das machen? Big Laugh

ich hab an exponenten n, n-1, n-2, n-3, und dann?

und wie mache ich das mit dem aufspalten?
ich hatte ja den ansatz für gerade n x_2n und für ungerade n x_2n+1.
kann ich damit was anfangen?
rza Auf diesen Beitrag antworten »

naja du hast einmal ein produkt mit jeweils n , n-2 n-4 ,n-6 usw mal einem produkt wo halt n-1, n-3 ,n-5 drin steht ....
da n mal (-1) das gleiche als n-2 mal (-1) is kannst du einfach (-1)^n schreiben ... dann unterscheidest du falls nun n gerade is was dann passiert
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

ok also das mit n, n-2 usw. und n-1, n-3 usw. hab ich verstanden.

n*(-1) = (n-2)*(-1) --> (-1)^n ??? den Schritt verstehe ich nicht ... ?!?!
(-1)^n steht doch schon im Term

ja also wenn dabei n gerade ist, dann kommt da +1 raus, also ein positiver Wert.
Und das heißt dann?

Oh mann kannst du mir vlt mal zeigen, wie ich das dann jz alles aufschreiben soll? Big Laugh Big Laugh
Damit das mathematisch korrekt da steht?!?!?
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

und was mach ich dann jz mit den ungeraden n?

Da bleibt es ja -1, d.h. ein negativer Wert.


Und woran erkenne ich jetzt die Konvergenz???
rza Auf diesen Beitrag antworten »







also das n unter dem produktzeichen ist sozu verstehen dass man das produkt über alle klammern mit (-1)^n nimmt ...
man faktorisiert das 1/8 nun raus aus und schaut sich den rest an
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommst du auf diesen letzen schritt?
du hast ja n-2 durch n und n-3 durch n-1 ersetzt. könntest du mir das auch nochmal erklären?
wäre nett smile

ok und was sagt das ganze jetzt über konvergenz aus? woran erkenne ich das?
rza Auf diesen Beitrag antworten »

naja es gilt ja
jetzt hast du mal eine etwas schönere form ...
egal wie dein n nun ist gilt ja entweder (-1)^n = 1 oder (-1)^n-1 =1 da ja n entweder gerade oder ungerade ist ...
wie sieht das dann in den klammern aus ?? und wieviele solcher terme hast du höchstens jeweils ?

Zitat:
ok und was sagt das ganze jetzt über konvergenz aus? woran erkenne ich das?


dazu kommt man gleich ...
poste das mal hier auf das du kommst
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

da würd doch dann rauskommen

"Produktzeichen n " (7/8) * "Produktzeichen n-1 " (7/8)

Stimmt das so? Jetzt weiß ich nur leider nicht wie ich das mit dem Produktzeichen ausrechnen kann, weil wir noch nicht damit gearbeitet haben, aber eigentlich müsste man das ja jetzt auflösen können, sodass man nur noch einen Term da stehen hat.
rza Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sasu132
da würd doch dann rauskommen

"Produktzeichen n " (7/8) * "Produktzeichen n-1 " (7/8)

Stimmt das so? Jetzt weiß ich nur leider nicht wie ich das mit dem Produktzeichen ausrechnen kann, weil wir noch nicht damit gearbeitet haben, aber eigentlich müsste man das ja jetzt auflösen können, sodass man nur noch einen Term da stehen hat.


nop nicht ganz wenn du das 1/8 rausfaktorisierst hast du vor dem ganzen (1/8)^n stehen und drinnen terme mit (6+4) und (6-4)

wieviel 10 multiplizeirst du denn höchstens , bzw weiviel 2er ??
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre dann also

(1/8)^n ("Produktzeichen n " (6+4)) *(1/8)^n ( "Produktzeichen n-1 " (6-4))


Wie kommst du auf 6+4 und 6-4??? Also die 6 kann ich ja noch nachvollziehen, aber woher kommt die 4? Und woher das minus? Ich dachte es wäre ...
Zitat:
egal wie dein n nun ist gilt ja entweder (-1)^n = 1 oder (-1)^n-1 =1 da ja n entweder gerade oder ungerade ist ...


was meinst du damit?
Zitat:
wieviel 10 multiplizeirst du denn höchstens , bzw weiviel 2er ??
rza Auf diesen Beitrag antworten »




wie gross kann k bzw l hier höchstens werden ?
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

mmmh ich meine k kann höchstens 2 sein oder? l weiß ich nicht genau ...
rza Auf diesen Beitrag antworten »

sry hab oben noch was geändert , k sowie l kannst du durch (n+1)/2 abschätzen ... an gut dann schätze mal die letzte zeile die ich bei der gleichungskette geschrieben hab mit dem eben erwähnten ab
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

also
Zitat:


mit

Zitat:
k sowie l kannst du durch (n+1)/2 abschätzen


abschätzen?


oh gott wie mache ich das denn bei so einem term?
normalerweise schätze ich immer einen term nach unten und nach oben ab und wenn die abschätzung nach unten und oben gegen den gleichen grenzwert konvergiert, so tut dies auch die originalfolge.
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Eieiei, das ist aber unnötig kompliziert, was du hier anstellst.
Betrachte einfach
rza Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jello Biafra
Eieiei, das ist aber unnötig kompliziert, was du hier anstellst.
Betrachte einfach


was bitte is denn hier kompliziert ... das läuft genau auf das gleiche raus




Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Hmh verwirrt

Also, wegen

folgt doch mit dem zuvor Gesagten direkt, dass

Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

ich würd mal sagen, dass das die explizite bildungsvorschrift der reihe ist

Zitat:


d.h. man muss nur die rekursive in eine explizite reihe umwandeln ...
da kommt eine geometrische reihe raus und die konvergiert ja sowieso.


hab ich recht?

wie viel von dem ganzen zeugs muss ich denn eigentlich jz aufschreiben?
nur das
Zitat:


sieht irgendwie so wenig aus oder??????
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sasu132
wie viel von dem ganzen zeugs muss ich denn eigentlich jz aufschreiben?

Genau soviel, wie erforderlich ist um ausschließlich mittels logischer Schlussfolgerungen und bereits bewiesener Aussagen zum gewünschten Resultat zu gelangen.
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

wow genial das schaff ich ja in ganzen 2 zeilen smile

und das

Zitat:


ist die explizite darstellung der reihe? stimmt das?

in der aufgabenstellung steht sie ja in rekursiver form.
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre dann die allgemeine Form oder?

Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

was sind denn jetzt diese 20/11?

könntest du mir vlt verraten wie jetzt die explizite form dieser reihe aussieht???
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich kann jz einigermaßen nachvollziehen, wie du auf dein ergebnis kommst




gilt das denn nun auch allgemein?
Ist das die explizite Form der Reihe?

Das wäre ja eine geometrische Reihe, von der ich sicher weiß, dass diese konvergiert
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

hey
ich hab noch eine idee für die explizite form der reihe

wie sieht es damit aus?



wäre nett, wenn du mir sagen könntest, was richtig und was falsch ist Big Laugh
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen letzten Beiträgen lässt sich leider nichts Sinnvolles entnehmen. unglücklich

Du solltest dieser Beziehung



die Du ja aus der Rekursionsvorschrift folgern kannst, mehr Aufmerksamkeit schenken.
Daraus kannst Du, induktiv, explizite Darstellungen folgern, die zur geom. Reihe führen.

Alternativ kannst Du daraus auch folgern, dass



womit Du zur Partialsumme



gelangst.
Eine einfache Grenzwertbetrachtung besorgt dann den Rest.
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

ok smile

wir haben noch nie rekursive in explizite reihen umgewandelt.

du würdest mir einen großen gefallen tun, wenn du mir zeigen könntest wie ich das bei dieser rekursiven form machen kann.

vielen dank schonmal
Sasu132 Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du das bitte in eine explizite darstellung umwandeln?
wäre sehr lieb! smile
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