Linearer Operator surjektiv

27.11.2012, 22:37	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearer Operator surjektiv Hallo zusammen, Ich bräuchte ein wenig Hilfe bei folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein Hilbertraum und $\begin{eqnarray} S:X\times X\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ eine Sesquilinearform, zu der ein $\begin{eqnarray} C>0 \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} \|S(x,y)\|\leq C\Vert x \Vert \Vert y\Vert\ \forall x,y\in X \end{eqnarray}$ . a)Dann existiert genau ein stetiger linearer Operator $\begin{eqnarray} T:X\to X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} S(y,x)=\langle y,Tx\rangle \end{eqnarray}$ für alle x,y aus X und es gilt $\begin{eqnarray} \Vert T\Vert \leq C \end{eqnarray}$ . Den Teil habe ich schon. b) Existiert weiterhin ein u>0 mit $\begin{eqnarray} \mathrm{Re}S(x,x)\geq u\Vert x\Vert^2 \end{eqnarray}$ für alle x aus X, so ist T bijektiv und $\begin{eqnarray} \Vert T^{-1}\Vert\leq \frac 1u \end{eqnarray}$ . Ich sehe noch nicht wirklich, wie man die Surjektivität von T mit der Ungleichung zeigen kann, wenn da jemand einen Hinweis hätte, wäre ich dankbar. Die Injektivität und die Abschätzung der Operatornorm, kriege ich hin.
27.11.2012, 23:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearer Operator surjektiv Ich weiß nicht, welches Vorgehen bei eurer Vorlesung naheliegen würde, aber ist zu der Aufgabe der Begriff Lemma von Lax-Milgram gefallen? Wir hatten das bewiesen, indem wir uns zu $\begin{eqnarray} y\in X \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \varphi(x)=x+\tau y-\tau Tx \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0\neq\tau\in\mathbb R \end{eqnarray}$ , definiert haben. Das führt die zu zeigende Aussage auf ein Fixpunktproblem zurück (für dessen Lösbarkeit muss $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ am Ende passend gewählt werden).
27.11.2012, 23:48	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Che, dieser Name ist nicht gefallen, dadurch, dass ich ihn nun kenne, sollte ich der Lösung aber um einiges näher kommen können, da ich jetzt gezielt danach suchen kann. Vielen Dank.

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