Reelles Polynom mit komplexen Nullstellen konstruieren

27.11.2012, 23:32

Ragnaroek

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Reelles Polynom mit komplexen Nullstellen konstruieren

Meine Frage:
Hallo,
Ich stehe vor dem Problem das ich ein Polynom vom kleinstmöglichen Grad konstruieren muss. Dieses soll die Nullstellen 2i und 1 besitzten.

Meine Ideen:
Bis jetzt habe ich dieses erst einmal in die Form p=(x-2i)*(x-1) gebracht und diese dann ausgeklammert so das ich auf x^2-2xi-x+2i gekommen bin. Ist das schon ein komplett falscher Ansatz um ein reeles Polynom zu konstruieren ??
Ich hatte die Idee diesen Term zu quadrieren da i^2= -1 gilt...
Dann kommt aber ein Polynom vierten Grades raus mit den Nullstellen 1,-1 und -2i,2i..
Es wäre nett wenn ihr mir weiterhelfen könntet, also mir erklären wie man weiter verfahren könnte...
Dankeschön Big Laugh

Big Laugh

27.11.2012, 23:40

lgrizu

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RE: Reeles Polynom mit komplexen Nullstellen konstruieren
Also, die vollständige Aufgabenstellung lautet:

"Bestimmen sie das Polynom vom kleinstmöglichen Grad mit Koeffizienten aus IR, das 1 und 2i als Nullstellen hat" ?

Bitte poste die Aufgabenstellung komplett, so wie du sie gepostet hast:

Zitat:

Ich stehe vor dem Problem das ich ein Polynom vom kleinstmöglichen Grad konstruieren muss.

Ist das hier bereits die Lösung:

Zitat:

p=(x-2i)*(x-1)

Es geht mit reellen Koeffizienten auch kleiner als Grad 4, obwohl auch hier die Frage ist ob die beiden gegebenen Nullstellen die einzigen sein sollen......

Also, erst mal vollständige Aufgabe posten, dann sehen wir weiter.

28.11.2012, 09:14

Ragnaroek

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Ohh entschuldigung...
Die genaue Aufgabenstellung lautet wortwörtlich : Konstruieren Sie ein reelles Polynom q (d.h. ein Polynom mit reellen Koeffizienten) vom kleinst-möglichen Grad, das die Nullstellen 2i und 1 hat.
Vielen Dank für die schnelle Antwort smile

smile

28.11.2012, 09:22

Ragnaroek

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Aufgabenstellung
Also genauer ist ie Aufgabe gar nicht vormuliert :S

28.11.2012, 09:26

lgrizu

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RE: Aufgabenstellung
Das reicht auch schon aus, es soll also nicht nur die beiden Nullstellen besitzen, das wäre auch nicht möglich.

Du hast festgestellt, dass ein Polynom, das nur die beiden Nullstellen besitzt komplexe Koeffizienten besitzt.

Zuerst also mal meine Frage, was tippst du denn, welchen Grad muss das Polynom denn haben?

28.11.2012, 09:32

Ragnaroek

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Grad des Polynoms
Auf jeden Fall kann man ganz leicht ein Polynnom 4. Grades konstruieren, da man das i durch quadrieren betimmen kann... Ob es noch niedriger zu konstuieren geht weiß ich nicht...

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28.11.2012, 10:12

lgrizu

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RE: Grad des Polynoms
Ich frage mich, wie du die komplexen Koeffizienten duch quadrieren wegbekommen willst: verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} (x^2-(2i+1)x+2i)^2=x^4-(4i+2)x^3+[(2i+1)^2+4i]x^2-(4i+2)x-4 \end{eqnarray*}$

Das sind mit Sicherheit keine reellen Koeffizienten.

Was weißt du denn über das komplex konjugierte?

Zitat:

Dann kommt aber ein Polynom vierten Grades raus mit den Nullstellen 1,-1 und -2i,2i..

Das ist nicht quadriert sondern das Polynom

$\begin{eqnarray*} (x-1)(x+1)(x-2i)(x+2i) \end{eqnarray*}$ und das hat mit Sicherheit reelle Koeffizienten.

Welchen Linearfaktor kann man denn hier weglassen?

28.11.2012, 10:33

Ragnaroek

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RE: Grad des Polynoms
Also ich dachte wenn ich das quadriere bekomme ich : $\begin{eqnarray*} x^{4}+ 3x^{2}-4 \end{eqnarray*}$ raus... Das hätte dann 4 Nullstellen... und die komplexen Zahlen wären weg, weil ich immer -1 eingesetzt habe für i^2 darf man das nicht ???
Also ich meine das eine komplex konjugierte Zahl immer den negativen Wert des imaginärteils hat... Also z.B. Das komplex konjugierte von z =i wäre dann -i . Oder ??
Man könnte das -1 und das +2i weglassen... Dann hätte man die Nullstellen : 0, -1 und 2i

28.11.2012, 10:47

lgrizu

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RE: Grad des Polynoms

Zitat:

Original von Ragnaroek
Also ich dachte wenn ich das quadriere bekomme ich : $\begin{eqnarray*} x^{4}+ 3x^{2}-4 \end{eqnarray*}$ raus...

Ich frage mich, wie du darauf kommst....

Aber es ist: $\begin{eqnarray*} x^{4}+ 3x^{2}-4=(x-2i)(x+2i)(x-1)(x+1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Ragnaroek
Das hätte dann 4 Nullstellen... und die komplexen Zahlen wären weg, weil ich immer -1 eingesetzt habe für i^2 darf man das nicht ???

richtig, es gilt: $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ , das ist richtig.

Zitat:

Original von Ragnaroek
Also ich meine das eine komplex konjugierte Zahl immer den negativen Wert des imaginärteils hat... Also z.B. Das komplex konjugierte von z =i wäre dann -i . Oder ??

Das ist auch richtig.

Zitat:

Original von Ragnaroek
Man könnte das -1 und das +2i weglassen... Dann hätte man die Nullstellen : 0, -1 und 2i

Naja, dann haben wir ja wieder keine reellen Koeffizienten, und wie kommst du auf die Nullstelle 0? verwirrt

verwirrt

Vielleicht hilft ja folgender Satz: "Hat ein Polynom aus $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ eine komplexe Nullstelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , so ist das komplex konjugierte $\begin{eqnarray*} \overline{z} \end{eqnarray*}$ ebenfalls Nullstelle von p."

Un dann noch mal die Frage:

Welchen Linearfaktor kann man weglassen, damit man nur noch reelle Koeffizienten hat?

Edit: Rechenfehler korrigiert.

28.11.2012, 11:20

Ragnaroek

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Okay... nach dieser Definition müsste es also mindestens 3 Linearfaktoren geben. Da es sobald ein reeles Polynom eine komplexe Nullstelle hat es zu diesem auch noch eine komplex konjugierte geben müsste... Oder verstehe ich das falsch ?
Auf jeden Fall könnte man den Linearfaktor (x+1) weglassen... Dann würde man nach dem Ausklammern auf die Gleichung q=x^3-x^2 kommen Big Laugh

Big Laugh

Ist das die Lösung ???

28.11.2012, 11:29

lgrizu

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Zitat:

Original von Ragnaroek
Okay... nach dieser Definition müsste es also mindestens 3 Linearfaktoren geben. Da es sobald ein reeles Polynom eine komplexe Nullstelle hat es zu diesem auch noch eine komplex konjugierte geben müsste... Oder verstehe ich das falsch ?
Auf jeden Fall könnte man den Linearfaktor (x+1) weglassen

Bis hier hin ist richtig.

Zitat:

Original von Ragnaroek
... Dann würde man nach dem Ausklammern auf die Gleichung q=x^3-x^2 kommen Big Laugh

Big Laugh

Ist das die Lösung ???

Also eine Probe machen wirst du wohl selbst hinbekommen, dann siehst du, dass das Polynom $\begin{eqnarray*} x^3-x^2=x^2(x-1) \end{eqnarray*}$ die Nullstellen 0 und 1 hat.

Also los, noch ein Versuch.....

28.11.2012, 12:22

lgrizu

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Zitat:

Original von lgrizu
[quote]Original von Ragnaroek
Okay... nach dieser Definition müsste es also mindestens 3 Linearfaktoren geben.

Achso, das ist keine Definition, das ist ein Satz!

28.11.2012, 12:32

Ragnaroek

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Hmmm...
Da hast du wohl Recht :S
Ist denn der Ansatz richtig, das ich das in Linearfaktoren zerlege oder muss ich das ganz anders machen ???
Wenn ich zueinander komplex konjugierte Linearfaktoren habe dann kürzt sich doch immer der imaginäre teil raus, oder ? Sind die Linearfaktoren (x-2i) und (x+2i) überhaupt komplex konjugiert zueinander ?? Wenn ja hilft mir das ja nicht weiter o.O.

28.11.2012, 12:33

lgrizu

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Der Ansatz - und den verfolgen wir hier auch gerade - ist richtig, wir haben doch bereits:

$\begin{eqnarray*} p(x)=(x-1)(x-2i)(x+2i) \end{eqnarray*}$

Der Rest sind binomische Formeln und ausmultiplizieren......

Oder du lässt es halt so stehen....

aber man sollte von Studenten schon erwarten können, dass sie in der Lage sind, auszumultiplizieren.

Was meinst du damit "der imaginäre Teil kürzt sich heraus"? verwirrt

verwirrt

28.11.2012, 12:43

Ragnaroek

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Ohhh man da stand ich aber auf dem Schlauch o.O.
Also wenn ich das mit der binomischen Formel rechne und dann ausmultipliziere dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} x^{3} - x^{2} + 2x- 2 \end{eqnarray*}$ was dann doch aber 1 und $\begin{eqnarray*} i*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -i*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ als Nullstellen hätte und nicht 1 und 2i und -2i :S

Mit dem kürzen meinte ich aufheben... aber das war sowieso falsch formuliert..

28.11.2012, 12:46

lgrizu

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unglücklich

Oh Mann.....
Zuerst einmal hat nach dem Satz vom Nullprodukt das Polynom $\begin{eqnarray*} (x-1)(x-2i)(x+2i) \end{eqnarray*}$ die Nullstellen 1, 2i, -2i.

Damit hats du wohl falsch ausmultipliziert.....

Es ist nach der dritten binomischen Formel:

$\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} (x-2i)(x+2i)=x^2-4i^2=x^2+4 \end{eqnarray*}$

Damit haben wir:

$\begin{eqnarray*} (x-1)(x-2i)(x+2i)=(x-1)(x^2+4)=x^3-x^2+4x-4 \end{eqnarray*}$

28.11.2012, 12:50

Ragnaroek

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Ups ich hatte vergessen die 2 zu quadrieren Hammer

Hammer

Das hätte ich mir bei dem Ergebnis was rauskam eigentlich denken müssen traurig

traurig

Vielen Dank auf jeden Fall für deine Hilfe, das hat mich sehr weitergebracht, jetzt verstehhe ich nämlich wann und wie man komplexe Konjzgationen braucht bzw. wie man sie anwendet Big Laugh

Big Laugh

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