Beweis Orthogonalität von Vektoren

28.11.2012, 07:39

VPCEB3Z1E

Beweis Orthogonalität von Vektoren

Meine Frage:
Hallo smile

Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Vektoren a+b und a-b genau dann orthogonal zueinander sind, wenn für ihre Normen $\begin{eqnarray*} ||a|| = ||\vec{b}|| \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
wie man a+b und a-b beweist kann ich, aber irgendwie stört mich das b als Vektor geschrieben ist.
Ist das egal oder muss ich irgendwas beachten dann?

28.11.2012, 08:02

VPCEB3Z1E

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kleine anmerkung. über die anderen b's müssen auch noch pfeile Augenzwinkern

28.11.2012, 11:07

RavenOnJ

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Dann berechne doch mal $\begin{eqnarray*} (\vec a + \vec b)(\vec a - \vec b) \end{eqnarray*}$ . Benutze am besten die Kommutativität der Skalarproduktbildung und binomische Regel.

28.11.2012, 15:52

VPCEB3Z1E

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also wenn a+b und a-b orthogonal sind dann muss das skalarprodukt null sein.

1.Variante:

z.z.: |a+b|=|a-b|

[latex]\sqrt{(a+b)*(a-b)} = \sqrt{(a-b)(a-b)}[\latex]

nach umformen kommt dann ab = 0 raus.

2.Variante:

(a+b)(a-b) = 0

a²-ab+ab-b² = 0

a²-b²=0

a²=b²

ist die 1 oder 2 besser oder ist überhaupt eine richtig davon?

28.11.2012, 15:54

VPCEB3Z1E

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a+b)*(a-b)} = \sqrt{(a-b)(a-b)} \end{eqnarray*}$

28.11.2012, 16:20

RavenOnJ

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Zitat:

Original von VPCEB3Z1E
also wenn a+b und a-b orthogonal sind dann muss das skalarprodukt null sein.

richtig

Zitat:

1.Variante:

z.z.: |a+b|=|a-b|

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a+b)*(a-b)} = \sqrt{(a-b)(a-b)} \end{eqnarray*}$

nach umformen kommt dann ab = 0 raus.

darüber breiten wir am besten den Mantel des Schweigens aus.

Zitat:

2.Variante:

(a+b)(a-b) = 0

a²-ab+ab-b² = 0

a²-b²=0

a²=b²

ist die 1 oder 2 besser oder ist überhaupt eine richtig davon?

Du sollst beweisen "genau dann, wenn", dass also beide Aussagen äquivalent sind. Hier beweist du jetzt die Richtung $\begin{align*} \text{" } \vec a + \vec b \text{ senkrecht auf }\vec a -\vec b \Rightarrow \| a\|^2 =\|b \|^2 \text{ " } \end{align*}$ , woraus dann $\begin{align*} \| a\| =\|b \| \end{align*}$ folgt, da die Norm immer positiv ist.

Jetzt fehlt aber noch die andere Richtung des Beweises.

28.11.2012, 16:24

VPCEB3Z1E

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also jetzt nur nochmal (a-b)(a+b) = 0

und dann ist es geschafft?

Danke für deine Antworten smile

28.11.2012, 17:45

RavenOnJ

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Jetzt musst du noch die Umkehrung beweisen:

$\begin{align*} \text{" } \| a\|^2 =\|b \|^2 \Rightarrow \vec a + \vec b \text{ senkrecht auf }\vec a -\vec b \text{ " } \end{align*}$

und dann bist du fertig.

29.11.2012, 11:21

VPCEB3Z1E

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Na die Richtung hab ich doch vorhin schon bewiesen?

Jetzt muss ich beweisen, dass a-b senkrecht auf a+b ist. und dann ist doch wie meine letzte antwort oder?

29.11.2012, 12:44

RavenOnJ

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Zitat:

Original von VPCEB3Z1E
Na die Richtung hab ich doch vorhin schon bewiesen?

dann schreib dies mit Äquivalenzen:

$\begin{eqnarray*} (\vec a + \vec b) (\vec a - \vec b) = 0 \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec a - \vec a \cdot \vec b - \vec b \cdot \vec b =\|a\|^2-\|b\|^2= 0 \Leftrightarrow \cdots \end{eqnarray*}$

So wie du das geschrieben hast, kann man nicht erkennen, was du meinst, also ob dies Folgerungen oder Äquivalenzen sein sollen. Ich nehme nur das, was da steht, und Äquivalenzen hast du nicht explizit geschrieben. Vielleicht beschäftigst du dich mal etwas mit Latex (musst du sowieso über kurz oder lang im Studium und hier ist es nur ein kleiner Ausschnitt der Latex-Welt), dann kannst du das auch darstellen.

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