Basis im Vektorraum

28.11.2012, 13:47

MatheNoobii

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Basis im Vektorraum

Hai Leute,
habe hier Probleme mit einer Aufgabe:

Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_r\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von V.
Für $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_r \in K \end{eqnarray*}$ sei
$\begin{eqnarray*} w:= \lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r. \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie. Ist $\begin{eqnarray*} k \in \{1,...,r\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_k \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_{k-1},w,v_{k+1},...,v_r\} \end{eqnarray*}$ wieder eine Basis von V.

Ich hab die Logik dieser Aufgabe noch nicht durchschaut und weiß auch nicht wie ich anfangen soll. Bitte um Hilfe!

28.11.2012, 13:49

Cel

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Moin,

was zeichnet denn eine Basis aus? Was gilt für die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ ?

Was muss dann also für die neue Basis gelten?

28.11.2012, 14:08

MatheNoobii

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Ja eine Basis ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem und jedes v lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus der Basis darstellen!

Für die neue Basis muss das gleiche gelten?

28.11.2012, 14:17

Cel

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Zitat:

Original von MatheNoobii
Ja eine Basis ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem und jedes v lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus der Basis darstellen!

Drück das mal in Formeln aus (lieber mit Linerakombination ergibt Nullvektor, aber eigentlich ist das das gleiche).

28.11.2012, 14:23

MatheNoobii

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Zitat:

Original von Cel

Zitat:

Original von MatheNoobii
Ja eine Basis ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem und jedes v lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus der Basis darstellen!

Drück das mal in Formeln aus (lieber mit Linerakombination ergibt Nullvektor, aber eigentlich ist das das gleiche).

Wie meinst du das? Das verwirrt mich gerade. Das mit Nullvektor. Ich kenne jetzt nur den Satz: Vektoren lassen sich als Linearkombination von den Vektoren der Basis darstellen. Sorry

28.11.2012, 14:42

Cel

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Das dürfte ein Satz sein. Die ursprüngliche Definiiton sieht anders aus: Klick.

Soll vielleicht gerade das Lemma bewiesen werden, als Übungsaufgabe? Falls der Beweis schon in deinen Unterlagen steht, ist das quasi nur abschreiben.

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29.11.2012, 14:57

MatheNoobii

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Zitat:

Original von Cel

Zitat:

Original von MatheNoobii
Ja eine Basis ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem und jedes v lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus der Basis darstellen!

Drück das mal in Formeln aus (lieber mit Linerakombination ergibt Nullvektor, aber eigentlich ist das das gleiche).

Könnten wir einfach nochmal zu dieser Stelle zurückkommen und diesen Beweis vergessen? Wie meinst du das mit Linearkombi ergibt Nullvektor?

29.11.2012, 21:10

Cel

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Hast du meinen Link angeklickt? Dort wird es eigentlich recht klar definiert ...

30.11.2012, 10:43

MatheNoobii

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Ich habe es an sich verstanden.

Das ist unser

$\begin{eqnarray*} w:= \sum_{r\in K}\lambda_r\mathbf v_r=\mathbf 0 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} a_ov_1,...,a_1v_{k-1},a_2w,a_3v_{k+1},...,a_4v_r=0 \end{eqnarray*}$

30.11.2012, 11:26

Cel

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Warum sollte das w gleich Null sein? Kann es gar nicht, denn die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ bilden ja eine Basis ... Und die Vorfaktoren sollen ungleich Null sein.

Also noch mal:

Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} \{v_1, \dots, v_n\} \end{eqnarray*}$ eine Basis ist. Was folgt daraus (nach der ursprünglichen Definiiton, die hoffentlich in deinen Unterlagen zu finden ist)?

Dass aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} a_1 \cdot v_1 + \dots + a_n \cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$ folgt, dass alle $\begin{eqnarray*} a_i = 0 \end{eqnarray*}$ . Andere Möglichkeiten für die Koeffizienten gibt es nicht. Das können wir nutzen.

Jetzt wird das w neu definiert. Und $\begin{eqnarray*} \{v_1, \dots, v_{k-1}, w, v_{k+1}, \dots, v_n\} \end{eqnarray*}$ soll wieder eine Basis sein. Was ist zu zeigen?

Dass aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} a_1 \cdot v_1 + \dots + a_{k-1} \cdot v_{k-1} + a_k \cdot w + a_{k+1} \cdot v_{k+1} + \dots + a_n \cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$ folgt, dass alle Koeffizienten Null sind.

Du kannst nun w einsetzen und nach Vektoren sortieren (die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ kommen ja mehrfach vor) ... Schreibe das als Summe, wo jedes $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ nur einmal vorkommt (mit zwei Koeffizienten als Vorfaktor, ausklammern ist also das Stichwort).

30.11.2012, 11:49

MatheNoobii

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Ups das = 0 war ein Versehen.

Ja bis dahin hab ich alles verstanden.

Ich wusste, dass das $\begin{eqnarray*} a_ov_1,...,a_1v_{k-1},a_2w,a_3v_{k+1},...,a_4v_r=0 \end{eqnarray*}$ nicht ganz richtig ist, nur das die Idee stimmt.
Mich hab nur diese $\begin{eqnarray*} v_{k-1}, v_{k+1} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Okay dann versuch ich das jetz mal

______________________________

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot v_1 + \dots + a_{k-1} \cdot v_{k-1} + a_k \cdot \sum_{k\in K}\lambda_k\mathbf v_k + a_{k+1} \cdot v_{k+1} + \dots + a_n \cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Schreibe das als Summe, wo jedes $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ nur einmal vorkommt

Ich verstehe nicht ganz wie du das meinst. $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ kommt nur einmal vor bei diesen: $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_{k-1},v_{k+1},...,v_r\} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} a_1*a_{k+1}(v_k+v_{k+1}) \end{eqnarray*}$

Aber warum nur 2 Koeffizienten? Ich bin verwirrt

Edit (Cel): Doppelposts zusammengeführt. Bitte editiere, wenn du in kurzer Zeit etwas nachzutragen hast.

30.11.2012, 12:37

Cel

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Zitat:

Original von MatheNoobii
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot v_1 + \dots + a_{k-1} \cdot v_{k-1} + a_k \cdot \sum_{k\in K}\lambda_k\mathbf v_k + a_{k+1} \cdot v_{k+1} + \dots + a_n \cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$

Da steht zum Beispiel das $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ zwei Mal da.

Wenn wir anfangen umzusortieren, steht da

$\begin{eqnarray*} (a_1 + a_k \cdot \lambda_1) \cdot v_1 + \dots \end{eqnarray*}$

Warum? Weil vorne $\begin{eqnarray*} a_1 \cdot v_1 \end{eqnarray*}$ steht und hinten, in der Summe, die w beschreibt, steht $\begin{eqnarray*} a_k \cdot \lambda_1 \cdot v_1 \end{eqnarray*}$ . Nach der Logik kannst du das mit jedem $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ machen. Letzendlich steht dann jedes $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ nur einmal da. Mit einem Koeffizienten, der aus aus einer Summe besteht.

So weit vielleicht erst mal. Vielleicht klappt es ja auch in der Summenschreibweise, dann fallen die ganzen Pünktchen weg.

30.11.2012, 15:42

MatheNoobii

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Okay sorry, werd ich machen...

Dann das $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (a_1 + a_k \cdot \lambda_1) \cdot v_1 + (a_2+a_k\cdot\lambda_2)v_2+(a_3+a_k\cdot\lambda_3)v_3+\dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (a_n+a_k\cdot\lambda_n)\cdot v_n \end{eqnarray*}$

So in etwa?

Aber wie kann ich $\begin{eqnarray*} a_{k-1} \cdot v_{k-1}+ a_{k+1} \cdot v_{k+1} \end{eqnarray*}$ zusammenfassen? Im Prinzip ist doch $\begin{eqnarray*} a_{k-1} \cdot v_{k-1} \end{eqnarray*}$ für k=2 auch
$\begin{eqnarray*} a_1 v_1 \end{eqnarray*}$

30.11.2012, 17:42

Cel

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Zitat:

Original von MatheNoobii
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (a_n+a_k\cdot\lambda_n)\cdot v_n \end{eqnarray*}$

So in etwa?

Wenn du hier als Index n statt k wählst, ist alles gut. Das k ist in der Aufgabenstellung ja fest.

Und ich sehe gerade, dass die Dimension des VR r ist, nicht n. Korrekt wäre demnach:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^r (a_n+a_k\cdot\lambda_n)\cdot v_n \end{eqnarray*}$

Schreib dir beide Summen noch mal hin, wenn du das nicht siehst. Ich denke, dich hat die doppelte Nutzung von k irritiert.

Was nun? Der Ausdruck muss 0 sein, und darauf muss folgen, dass alle Koffizienten 0 sind.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^r \underbrace{(a_n+a_k\cdot\lambda_n)}_{=: \hat{a}_n}\cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} \hat{a}_n \end{eqnarray*}$ MÜSSEN gleich 0 sein. Warum?

02.12.2012, 23:05

MatheNoobii

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Ah ja ok. Habs verstanden! smile

smile

Ja die müssen gleich 0 sein, damit unsere Vektoren linear unabh. sind.

Aber wie beweise ich nun, dass sie = 0 sind? Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_k \neq 0 \Rightarrow a_n , a_k = 0 \end{eqnarray*}$

03.12.2012, 20:22

Cel

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^r \hat{a}_n \cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$

Hmmmm ... Was sind denn die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ ? Was folgt daraus?

04.12.2012, 13:09

MatheNoobii

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Die sind natürlich $\begin{eqnarray*} v_i \neq 0 \end{eqnarray*}$
Somit muss $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^r \hat{a}_n = 0 \end{eqnarray*}$ sein!

Sind wir jetzt komplett fertig?

04.12.2012, 15:18

Cel

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Zitat:

Original von MatheNoobii
Die sind natürlich $\begin{eqnarray*} v_i \neq 0 \end{eqnarray*}$
Somit muss $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^r \hat{a}_n = 0 \end{eqnarray*}$ sein!

Sind wir jetzt komplett fertig?

Was? Die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ sind zwar Ungleich Null, aber das bringt nichts ...

Nein, die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ bilden eine Basis! Und was folgt dann für jeden Koeffizienten (egal, wie man den darstellen kann)?

04.12.2012, 16:01

MatheNoobii

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Wenn die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ eine Basis bilden, folgt für die Koeffizienten, dass sie alle gleich sind?

04.12.2012, 16:08

Cel

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Genau. Und somit hast du dann gezeigt, dass auch die neue Menge eine Basis ist. Weil man eine Linearkombi auf die alte Basis mit neuen Koeffizienten (die $\begin{eqnarray*} \hat{a}_n \end{eqnarray*}$ ) umschreiben kann. smile

smile

Dann können wir bekannte Informationen nutzen.

04.12.2012, 16:29

MatheNoobii

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Ahhhh sooo ist das! smile

smile

Jetzt hab ich verstanden, dankeschön!! smile

smile

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