Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum

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MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum, ein Emdomorphismus, , und es gebe ein natürliche Zahl , so dass
und
Zeigen Sie, dass linear unabhängig sind.


Ich kann mir diese Aufgabe gedanklich noch nicht richtig vorstellen!

zu zeigen:

mit

Ich weiß nicht wie ich das anstellen soll. Bitte um Hilfe!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wende z.b. mal auf deine Gleichung an. Dann fällt fast alles weg Augenzwinkern
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Arbeite bei den Skalaren lieber auch mit Indizes. Links stehen doch (n+1) Summanden, du arbeitest aber nur mit vier Skalaren a,b,c,d. Passt nicht so ganz zusammen. Also eher so:



Zeigen wollen wir nun

Wende jetzt mal auf beiden Seiten der Gleichung an.

Edit: Ich verabschiede mich. Augenzwinkern
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Ja klar, so ist es vollständig.

Ja genau. Wie meint ihr das? Auf beiden Seiten der Gleichung anwenden?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ist doch eine Abbildung, die von nach abbildet.

Jetzt hast du da eine Gleichung in V stehen. Jetzt kansnt du auch beiden Seiten der Gleichung anwenden und dann hast du wieder eine Gleichung da stehen. Nur sieht die dann deutlich freundlicher aus.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe diese Gleichung:


Hilfe! Ich versteh das nicht unglücklich

Wie wendet man an?
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du eine Gleichung der Form hast. Und dazu eine Funktion .

Dann sage ich: Wende an. Und du sagst (hoffentlich): .

Und hier ist genau dasselbe. Das "x" sieht halt ein bisschen komplizierter aus.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Also quasi:



Und
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Du musst jetzt natürlich beide Seiten noch "berechnen":

Links die Linearität ausnutzen. Und rechts solltest du wissen, was rauskommt.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man auch so schreiben:



Und wie weiter?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn ?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm...Ich stehe gerade iwie auf dem Schlauch.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst einfach nochmal die Linearität anwenden. Was kannst du mit dem Vorfaktor machen?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Den kann ich vor das ziehen.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

So vielleicht?




Ach nein, das ist ja quatsch!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte das Quatsch sein? Das ist genau das, was du brauchst.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin heute leicht verwirrt.




Und daraus ist jetzt schon ersichtlich, dass ist?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Geh nochmal in deine Gleichung zurück. Ein Summand bleibt übrig.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »



Dieser Summand bleibt übrig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Also was folgerst du? Lass dir doch net alles aus der Nase ziehen.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »



Also so?

Jetzt hab ich eine Summe, in denen die Summanden nicht negativ sein können? Somit müssen sie = 0 sein, um die Gleichung zu erfüllen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kannst du denn von nichtnegativen Summanden sprechen? unglücklich Wir sind hier in irgendeinem Vektorraum. Da gibt es keine Anordnung.


Waren wir uns nicht einig, dass die Terme für verschwinden?

Dann hast du doch: . Was schließt du daraus?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ups!

Aber warum verschwinden die?

Daraus schließe ich,dass sein muss.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheNoobii
Aber warum verschwinden die?


Erinnerst du nicht gar nicht mehr an die Vorausetzungen der Aufgabe?

Zitat:
Original von MatheNoobii
Daraus schließe ich,dass sein muss.


Ja. Und das war jetzt eigentlich schon mehr als die halbe Miete.

Jetzt nimm dir deine Ursprungsgleichung (ohne den Term mit natürlich, denn der ist ja 0) und wende an...
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben doch eigentlich die Gleichung:



Darauf muss ich anwenden. Aber warum schreibst du dann


Und ich weiß nicht die Voraussetzungen der Aufgabe und weiß auch nicht wo wir das hier unterbringen: und

Und verstehe auch nicht, wie ich darauf kommen soll anzuwenden.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ursprungsgleichung? Also :

Und hier anwenden, aber warum ?


Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Zitat:
Original von MatheNoobii
Wir haben doch eigentlich die Gleichung:


Ja, die haben wir. Und was wollen wir denn nun eigentlich zeigen? Was ist jetzt das Ziel?

Denn wenn das nicht klar ist, dann kann natürlich auch das weitere Vorgehen nicht nachvollziehbar sein.

In deinem letzten Post stand ja eigentlich nur "warum" und "ich weiß nicht" und "ich versteh nicht". Du bist ja gar nicht in der Aufgabe drin. Also nochmal zurück auf Anfang.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Ja bitte!

Wir wollen jetzt zeigen, dass , denn dann ist linear unabhängig.

Und warum nun anwenden? Kommt das durch ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Zitat:
Original von MatheNoobii
Ja bitte!

Wir wollen jetzt zeigen, dass

denn dann ist linear unabhängig.

Ja, diese Skalare (also bis ) müssen alle 0 sein. Immer dran denken: Das hier: sind die "Vektoren".

Dass diese Skalare alle null sind, machen wir Schritt für Schritt. Laut Aufgabenstellung ist doch . Damit ist auch für alle . Denn es ist ja . Und das machen wir uns zunutze. Indem wir auf beiden Seiten der Gleichung anwenden, verschwinden die meisten Summanden. Es bleibt nur der eine übrig:



Da aber nach Voraussetzung sein soll, ist diese Gleichung nur für erfüllt. Damit haben wir schonmal abgefrühstückt.

Zurück zur Ausgangsgleichung:



Da ja nun sein muss (das haben wir ja schon bewiesen), können wir den ersten Summanden auch gleich komplett rauswerfen und uns auf den Rest konzentrieren. Es verbleibt:



So, und jetzt wenden wir an. Die Idee dahinter ist, dass dann wieder genau 1 Summanden übrig bleiben wird. So können wir zur Erkenntnis gelangen. Mach das einfach mal, es geht genau so wie beim ersten Schritt, wo wir angewandt haben.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Ah jetzt hab ich das verstanden!

Ok dann jetzt auf

anwenden.






Passt das so? Dann würden wieder alle
wegfallen und nur würde
übrig bleiben und wegen muss sein um die Gleichung zu erfüllen. Und so kann man das jetzt noch weiter machen und zeigen, dass auch ist?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Zitat:
Original von MatheNoobii
Und so kann man das jetzt noch weiter machen und zeigen, dass auch ist?

Ja. Wieder zurück zur Ausgangsgleichung. Was genau wäre jetzt der nächste Schritt?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Jetzt haben wir die Gleichung:

und müssen anwenden.

Somit

und somit ist

Oder meintest du jetzt um zu zeigen, dass ist?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Zitat:
Original von MatheNoobii
Jetzt haben wir die Gleichung:

und müssen anwenden.

Somit

und somit ist

Ganz genau. Und das kann man jetzt so lange weiter machen (das ist jetzt die Stelle, wo du ein bisschen Text schreibst, um die weitere Vorgehensweise zu erläutern), bis man alle Skalare durch hat.

Am Ende ist in der Ausgangsgleichung nur noch



übrig. Und damit ist auch . Fertig.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Ja das ist jetzt denk ich nicht mehr schwierig. Danke für deine Hilfe! smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Ein Tippfehler noch:

Zitat:
Original von MatheNoobii
und müssen anwenden.

Das muss eigentlich



heißen.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im K-Vektorraum
Ups. Ja klar, werd ich dann sauber ohne Fehler aufschreiben.
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