Beweis einer Gleichung

28.11.2012, 15:44	Rosa_Plüschritter94	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Gleichung Ich komme bei dem Beweis, folgende Gleichung zu beweisen, nicht weiter $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n})^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \frac{1(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n})}{k!} \end{eqnarray}$ Der Wert für k=0 und k=1 ist als 1 gegeben. Allein deswegen, wäre eine Induktion für mich logisch: IA: k=1, da es für n=0 ja nicht definiert ist. $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n})^{n} = 2 = \sum\limits_{k=0}^n \frac{1(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n})}{k!} \end{eqnarray}$ IA gilt also. IS: n->n+1 $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac{1(1-\frac{1}{n+1})...(1-\frac{k-1}{n+1})}{k!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n+1})^{n}(1+\frac{1}{n+1}) = \sum\limits_{k=0}^{n} (\frac{1(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n})}{k!}) + \frac{1(1-\frac{1}{n+1})...(1-\frac{k-1}{n+1})}{k!} \end{eqnarray}$ Jetzt setze ich die IV ein: $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n+1})^{n}(1+\frac{1}{n+1}) = (1+\frac{1}{n})^{n}+ \frac{1(1-\frac{1}{n+1})...(1-\frac{k-1}{n+1})}{k!} \end{eqnarray}$ Aber ab jetzt, habe ich keine Idee mehr
28.11.2012, 17:29	Rosa_Plüschritter94	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat niemand ne Idee?
28.11.2012, 18:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus dem binomischen Satz folgt $\begin{eqnarray} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \end{eqnarray}$ , anschließend wurde "nur" noch der Summand umgeformt: $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)\cdot (n-k+1)}{k! n^k} = \frac{1}{k!}\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \ldots \frac{n-k+1}{n} \end{eqnarray}$ , und schon steht es praktisch da. P.S.: Vollständige Induktion ist nicht immer das Allheilmittel für Aussagen über natürliche Zahlen - besonderes dann nicht, wenn im Induktionsschritt der Rückgriff auf die Induktionsvoraussetzung de facto nichts bringt - so wie hier...
28.11.2012, 19:09	Rosa_Plüschritter94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah! Super, danke. Man hat ja am Anfang erschlagend viele Möglichkeiten vorzugehen, die man (zumindest ich) nicht alle im Kopf hat. Da Induktion das gängigste war, habe ich es halt eben darüber versucht. Ich muss halt noch in den Kopf kriegen, was es alles für Sätze, Definitionen und so weiter gibt :P Aber danke für den Ansatz mit dem binomischen Lehrsatz. Hat sehr geholfen

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