Grenzwert Folge

28.11.2012, 16:21

Mayas

Grenzwert Folge

Hallo

Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie die Grenzwerte l\lim_{n \to \infty } x_{n} der untenstehenden Folge.
Begründen Sie.

$\begin{eqnarray*} x_{n} = \frac{a^{n} - n^{k} }{a^{n} + n^{k} } <br /> <br /> a \in \mathbb R , a>0 , k \in Z \end{eqnarray*}$

Ich sitze jetzt hier schon eine Stunde und komm nicht weiter.

Ich habe mir 4 Fälle aufgeschrieben:
1. a so groß und k so klein wie möglich
2. a so klein und k so klein wie möglich
3. a so kleine und k so groß wie möglich
4. a so groß und k so groß wie möglich

ich habe es ausprobiert mit dem 2. Fall aber komme auf keine vernünftige Aussage.

Kann man es hier mit umformen machen?

Ich bedanke mich für eure Hilfe smile

28.11.2012, 16:24

HAL 9000

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Wenn du gelegentlich mal deine alten Threads "geordnet" beenden würdest, dann wären Fragen wie die hier im Handumdrehen erledigt.

28.11.2012, 16:29

Mayas

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Entschuldigung für meine letzte Frage, aber ich hab die mit meinem Freund den Tag noch hinbekommen.

Aber die bereitet mir wieder Probleme...

28.11.2012, 16:36

HAL 9000

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Du kannst z.B. umformen

$\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1-\frac{n^k}{a^n}}{1+\frac{n^k}{a^n}} \end{eqnarray*}$ ,

womit im Fall $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ sofort klar wird, wogegen Zähler und Nenner, und damit auch der ganze Bruch konvergiert.

Für $\begin{eqnarray*} 0<a<1 \end{eqnarray*}$ hingegen würde man dann eher

$\begin{eqnarray*} x_n = \frac{\frac{a^n}{n^k}-1}{\frac{a^n}{n^k}+1} \end{eqnarray*}$

betrachten.

$\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ ist ein gesondert zu betrachtender Fall, hier kommt es dann auch auf $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ an.

28.11.2012, 16:51

Mayas

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OK, Danke

ich hab das schon mal gesehen das man mit a>1, 0<a<1 und a =1 betrachtet.
Macht man das immer so oder sind das nur spezielle aufgaben wo man dies drauf anwenden kann?

28.11.2012, 16:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mayas
Macht man das immer so

Wohl kaum: Wenn z.B. kein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ da ist, macht eine Fallunterscheidung nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auch keinen Sinn. Big Laugh

Im Ernst: Es macht keinen Sinn, nach Rezepten für allgemeine Situationen zu fragen, nur weil man mal ein, zwei Beispiele gesehen hat, wo das zufällig so funktioniert.

28.11.2012, 17:16

Mayas

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Danke für den Hinweis Augenzwinkern

also nochmal zur Kontrolle:

für a>1 ist der Grenzwert 1

0<a<1 ist Grenzwert -1

a=1, k negativ: 1

a=1, k positiv unendlich/unendlich --> nicht auswertbar

28.11.2012, 17:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mayas
a=1, k positiv unendlich/unendlich --> nicht auswertbar

Der Fall "a=1, k positiv" ergibt durchaus auch einen Grenzwert, genauso wie der dann noch fehlende Fall "a=1, k=0".

28.11.2012, 17:44

Mayas

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oh für K=0 ganz vergessen. der ist natürlich 0

ah warte dann müsste der grenzwert für a=1,k positiv gleich -1 sein. oder?

28.11.2012, 17:59

HAL 9000

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Genau.

28.11.2012, 18:08

Mayas

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Großes Danke an HAL 9000!!! Freude

und wenn ich jetzt die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1+a_{n} } -1}{a_{n} } \end{eqnarray*}$ hab.

die konvergiert nach meiner beobachtung gegen 0,5.

krieg ich die auch wieder so schön durch umformen hin?

bin schon die ganze zeit dabei Augenzwinkern

a_n >0 und lim a_n = 0

28.11.2012, 18:11

HAL 9000

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Was ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ? Meinst du vielleicht $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ ? Und falls ja, für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ verwirrt

EDIT: Ach so, hatte dein EDIT

Zitat:

Original von Mayas
a_n >0 und lim a_n = 0

noch nicht gesehen. Hier hilft wieder mal die "dritte binomische Erweiterung"

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1+a_n}-1}{a_n} = \frac{(\sqrt{1+a_n}-1)(\sqrt{1+a_n}+1)}{a_n(\sqrt{1+a_n}+1)} = \ldots \end{eqnarray*}$

28.11.2012, 18:15

Mayas

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ja stimmt das habe ich gerade gemacht gehabt wo du geschrieben hattest Augenzwinkern

lim = 1

28.11.2012, 18:28

HAL 9000

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Du solltest bei deiner ersten Aussage

Zitat:

Original von Mayas
die konvergiert nach meiner beobachtung gegen 0,5.

bleiben.