Endlich erzeugte abelsche Gruppen / Untergruppen

28.11.2012, 17:42

All_That_Remains

Endlich erzeugte abelsche Gruppen / Untergruppen

Hi,

ich habe eine Frage zum oben genannten Thema. Folgende Aufgabe ist gegeben:

a)
Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle abelschen Gruppen der Ordnung 100. Zeigen Sie, dass jede dieser Gruppen ein Element der Ordnung 10 besitzt

b)
Zeigen Sie, dass jede dieser Grupen für jeden Teiler $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ von 100 eine Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ enthält.

c)
Verallgemeinern Sie dei Aussage von b) zu einem Satz über endliche abelsche Gruppen un beweisen Sie diesen.

Meine Ideen:

a) Okay, hier gibt es die folgenden Gruppen:

1) $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_{25} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{25} \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$

Die Elemente der Ordnung 10 lassen sich explizit angeben, das sind:

1) $\begin{eqnarray*} (\overline{0},\overline{1},\overline{1},\overline{0}) \end{eqnarray*}$ , 2) $\begin{eqnarray*} (\overline{2},\overline{5}) \end{eqnarray*}$ , 3) $\begin{eqnarray*} (\overline{0},\overline{1},\overline{5}) \end{eqnarray*}$ und 4) $\begin{eqnarray*} (\overline{2},\overline{1},\overline{0}) \end{eqnarray*}$

Soweit, so gut, jetzt zur b)

Hier habe ich keinen Ansatz, ich bin mir nichtmal sicher, ob die Aussage überhaupt stimmt. Zum Beispiel ist 25 ein Teiler von 100. Also müsste es ja in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$ ein Element der Ordnung 25 geben, welches dann die Untergruppe erzeugt, aber ich finde einfach keins. Wenn mir jemand ein solches Element angeben könnte, wäre das schonmal super ...

c)
Da denke ich drüber nach, wenn ich die b) gelöst habe.

28.11.2012, 17:44

tmo

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RE: Endlich erzeugte abelsche Gruppen / Untergruppen

Zitat:

Original von All_That_Remains
Also müsste es ja in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$ ein Element der Ordnung 25 geben, welches dann die Untergruppe erzeugt, aber ich finde einfach keins.

Aufpassen. In der b) steht nur, dass es eine Untergruppe mit 25 Elementen geben soll. Nicht, dass es ein Element mit der Ordnung gibt.

Es gibt in der Tat kein Element der Ordnung 25 in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$ .

Aber $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$ ist trivialerweise eine Untergruppe mit 25 Elementen.

Der Grund, dass es in der a) mit 10 geklappt hat, ist dass 10 quadratfrei ist.

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