Formel für Rotationsfläche beweisen

28.11.2012, 17:45	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Formel für Rotationsfläche beweisen Moin, zu zeigen ist: Sei $\begin{eqnarray} M:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\|y^2+z^2=(f(x))^2\} \end{eqnarray}$ die von der glatten Funktion $\begin{eqnarray} f: (a,b) \to (0,\infty) \end{eqnarray}$ erzeugte Rotationsfläche. Dann gilt für ihr 2-dimensionales Volumen $\begin{eqnarray} \operatorname{vol}(M)=2\pi \int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx \end{eqnarray}$ . Leider habe ich keinen Ansatz. Aktuelles Thema ist Integration auf Untermannigfaltigkeiten. Dass M eine 2-dim. Untermannigfaltigkeit definiert zeigt man ja leicht, aber wie geht es dann weiter? Wir haben Volumenformen eingeführt, aber keinen konkreten Zusammenhang zwischen dem Volumen einer UMF und Volumenformen gezeigt. Gilt denn, wenn $\begin{eqnarray} \mu_M \end{eqnarray}$ die Volumenform der UMF M bezeichnet: $\begin{eqnarray} \operatorname{vol}(M)=\int_M\mu_M \end{eqnarray}$ ? Für jegliche Tips bin ich sehr dankbar
29.11.2012, 11:45	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man eine Funktion f(x) um die x-Achse rotieren lässt, entsteht eine Rotationsfläche. Zerschneidet man diese wie eine Wurst in dünne Scheiben, erhält man viele Kegelstümpfe mit der differenziellen Scheibendicke $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ . Die schräge, differenziell kurze Mantellinie jedes Kegelstumpfes hat nach dem Satz des Pythogoras die differenzielle Länge $\begin{eqnarray} \Delta s=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta f)^2} \end{eqnarray}$ Wickelt man die Mantelfläche eines Kegelstumpfes in die Ebene ab, entsteht ein schmaler, rechteckiger Streifen mit der Fläche $\begin{eqnarray} \Delta A=\underbrace{2\pi \cdot f(x)}_{\text{Streifenlänge=Umfang}}\cdot \underbrace{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta f)^2}}_{\text{Streifenbreite }\Delta s}=2\pi \cdot f(x)\cdot \sqrt{1+\left (\tfrac{\Delta f}{\Delta x}\right )^2} \cdot \Delta x \end{eqnarray}$ Macht den Grenzübergang zu differenziell dünnen Scheiben gemäß $\begin{eqnarray} \Delta x \rightarrow dx \end{eqnarray}$ , wird daraus $\begin{eqnarray} d A=2\pi \cdot f(x)\cdot \sqrt{1+\left (\tfrac{df}{dx}\right )^2} \,dx \end{eqnarray}$ Integration ergibt die gewünschte Formel.
29.11.2012, 21:32	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Diese Herleitung ist sehr anschaulich und wenn ich mich recht entsinne, haben wir das so auch in der Schule gemacht Leider denke ich nicht, dass das in diesem Fall als Beweis reicht, denn da sollte wohl schon ein Bezug zum aktuellen Thema hergestellt, sprich mit Volumenformen argumentiert werden. Inzwischen weiß ich immerhin dass $\begin{eqnarray} \operatorname{vol}(M)=\int_M\mu_M \end{eqnarray}$ tatsächlich gilt. Damit kann man eventuell etwas anfangen. Oder ich nehme mir den Rotationskörper als Untermannigfaltigkeit mit Rand und benutze dann den Satz von Stokes. Genaueres weiß ich leider noch nicht, ich bin noch am Probieren! Über weitere Anregungen freue ich mich natürlich trotzdem.

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