Lineares Gleichungssystem aufstellen (Textaufgabe)

28.11.2012, 18:14

Urwis

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Lineares Gleichungssystem aufstellen (Textaufgabe)

Meine Frage:
Hallo, ich sitze schon seit Stunden vor dieser verdammten Textaufgabe und finde keine Lösung, jetzt versuch ichs mal mit euerer Hilfe. Hoffe es wird nicht zu unübersichtlich, ich halt mich knapp:

3 verschiedene Arten von Ölförderung: Xl Xo Xs (wir wollen möglichst viel Öl fördern.

Bedingungen:
1. Nur 20 Einheiten Umweltzerstörung dürfen zugelassen werden.
Xl verursacht 1 Einheit pro Einheit, Xo 2 und Xs 5

2. 50 Einheiten Arbeitsplätze sollen geschaffen werden.
Xl benötigt 2 Einheiten, Xo 4 und Xs 8

3. 100 Panzer müssen für Öl eingetauscht werden.
Eine Einheit Xl bringt 7 Panzer, Xo 1 und Xs 6.

Zum verzweifeln! Ich hoffe es findet sich jemand der mir dabei hilft. (ich weiß es ist lästig, das tut mir Leid unglücklich

unglücklich

)

Die Aufgabe: Ein lineares Gleichungssystem erstellen und lösen.

Meine Ideen:
Also das Ergebnis muss ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 20 \\ 50 \\ 100 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.
Und die Matrix die ich erstellt habe sieht so aus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 4 & 8 \\ 7 & 6 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also in der Folge: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 4 & 8 \\ 7 & 6 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} Xl \\ Xo \\ Xs \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 20 \\ 50 \\ 100 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Leider kommt totaler Käse raus, wenn ich das System versuche zu lösen.
Kann sich BITTE jemand die Mühe machen und mir dabei helfen, das wäre echt total wichtig unglücklich

unglücklich

28.11.2012, 18:52

Urwis..

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Ich bin jedem dankbar, der mir hier hilft!
Jeder Denkanstoß kann mir schon helfen :-)

28.11.2012, 20:04

Kasen75

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Hallo,

von den Koeffizienten habe ich das Gleiche. Ich habe nur bei den Restriktionen 1 und jeweils eine Ungleichung.

Bei der 1. Restriktion habe ich. Es kann ja gerne weniger Umweltzerstörung sein:

$\begin{eqnarray*} x_l+3x_o+5x_s \leq 20 \end{eqnarray*}$

Und bei der 2. Restriktion. Zumindest wenn man mindestens 50 Arbeitsplätze schaffen will:

$\begin{eqnarray*} 2x_l+4x_o+8x_s \geq 50 \end{eqnarray*}$

Bei der 3. Restriktion habe ich auch eine Gleichung.

Fazit: Schau dir noch mal genau die Formulierung in der Aufgabe an.

Grüße.

28.11.2012, 21:41

Urwis.

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Danke für die Antwort, ich bin schon am verzweifeln mit dieser blöden Aufgabe...

Also in der Aufgabenstellung steht, wir möchten 20 Einheiten Umweltzerstörung und 50 Einheiten Arbeitsplätze. Da steht also nichts von wegen mindestens oder höchstens, auch wenn das natürlich rein logisch gesehen Sinn macht!

Kommt denn bei dir realistischee Werte raus? Also ich hab da nach dem Auflösen so etwas stehen wie -2Xs = 10.

Ich komm einfach nicht weiter, hat noch jemand Ideen ? unglücklich

unglücklich

28.11.2012, 21:57

Kasen75

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Logisch ist die Aufgabe nicht. Man will einfach nicht genau so und soviel Umweltzerstörung haben. Man will ja möglichst wenig haben.Das ist sach-logisch einfach Käse in der Aufgabenstellung.

Wobei du in deinem ersten Beitrag schreibst:
"Nur 20 Einheiten Umweltzerstörung dürfen zugelassen werden."

Das kann man schon als Ungleichung interpretieren.

Bei Ungleichungen braucht man aber den Simplex-Algorithmus. Habt ihr den schon behandelt?

Ich habe für $\begin{eqnarray*} x_s \end{eqnarray*}$ = -5 auch heraus. Zumindest wenn ich drei Gleichungen ansetze. Das macht für mich aber keinen Sinn. Mengen sind ja immer positiv.

Edit: Außerdem hast du noch geschrieben:

Zitat:

3 verschiedene Arten von Ölförderung: Xl Xo Xs (wir wollen möglichst viel Öl fördern).

Wenn man etwas maximieren oder minimieren (mit Nebenbedingungen) können es nicht nur Gleichungen. Das sieht mir doch sehr nach Simplex aus.

Grüße.

28.11.2012, 22:02

Urwis...

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Nein Simplex-Algorithmus habe ich noch nie gehört und auch Ungleichungen kamen eigentlich nie vor.

Bei mir kommt für Xs auch -5 heraus, was nun ? unglücklich

unglücklich

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28.11.2012, 22:03

sulo

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Mir war aufgefallen, dass du die Reihenfolge vertauscht hast:

Zitat:

Eine Einheit Xl bringt 7 Panzer, Xo 1 und Xs 6.

Es muss also 7 1 6 heißen, oder?

Ich habe das Ganze mal lösen lassen, leider auch einen negativen Wert erhalten:

20 = 1a + 2b + 5c
50 = 2a + 4b + 8c
100 = 7a + 1b + 6c

Lösungen: a = 215/13; b = 185/13; c = -5

Schön ist das nicht. unglücklich

unglücklich

28.11.2012, 22:11

Kasen75

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Von meiner Seite sehe dann leider nur schwarz. Wie schon angedeutet, ohne Simplex wird es, meiner Meinung nach, nicht gehen.

Sulo hat ja auch einen negativen Wert heraus. Das macht, wie gesagt, keinen Sinn.

Wenn jemand eine bessere Idee hat, bitte posten. Wink

Wink

28.11.2012, 22:11

Urwis...

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hier mal die Aufgabe in voller Pracht, vill war irgendwo ein Fehler von mir?

Saddam H. wurde gerade zum neuen Präsidenten von Iral gewählt. Damit
hat er auch die Entscheidungsgewalt über die Rohstolförderung. Es stehen 3
verschiedene Fördervarianten zur Auswahl: Bohrungen an Land, O
shore
Bohrungen und Abbau von Ölsand. Die geförderten Mengen Öl seien ent-
sprechend der Förderarten wie folgt bezeichnet: xL bezeichne die an Land
geförderte Menge Öl, xO bezeichne die durch Offshore Bohrungen geförderte
Menge Öl und xS steht f ür die geförderte Menge Öl aus Ölsand. Saddam H.
ist an einer möglichst großen Fördermenge interessiert, muss allerdings auch
die folgenden Aspekte zwingend berücksichtigen:

i) Aufgrund von Umweltbedenken möchte er nur 20 Einheiten Umwelt-
zerstörung zulassen. Eine Einheit an Land gefördertes Öl entspricht ei-
ner Einheit Umweltzerstörung. Da eine Off
shore Bohrung gefährlicher
ist, führt eine geförderte Einheit Öl zu 2 Einheiten Zerstörung. Der
Ölsand liefert das umweltschädlichste Öl, was pro geförderter Einheit
Öl 5 Einheiten der Umwelt vernichtet.

ii) Weiterhin sollen 50000 Arbeitsplätze geschaffen
werden. Zur Vereinfa-
chung nehmen Sie an, dass eine Arbeitseinheit 1000 Arbeitsplätzen ent-
spricht. Durch Förderung einer Einheit Öl sind 2 Arbeitseinheiten nötig.
4 Arbeitseinheiten braucht man pro Einheit Offshore Öl. 8 Arbeitsein-
heiten sind nötig für eine Einheit Ölsand.

iii) Durch ein Handelsabkommen hat sich Iral zur Abnahme von 100 Pan-
zern verpflichtet. Durch Sanktionen können diese nur in Waren (i.e., Öl)
bezahlt werden. 7 Panzer können gegen eine durch Landbohrung produzierte
Einheit Öl getauscht werden, eine Einheit Ölsand entspricht einem
Panzer, während jede Einheit Offshore
Öl gegen 6 Panzer getauscht wer-
den kann.

a) Stellen Sie das Entscheidungsproblem von Saddam H. als ein lineares Glei-
chungssystem dar!

b) Lösen Sie das Gleichungssystem!

28.11.2012, 23:02

Urwiss

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Durch ausprobieren hab ich jetzt mal folgendes raus: Xl=10, Xo = 5, Xs =0
Das ergibt dann halbwegs gute Ergebnisse.

20 E Umweltzerstörung -> passt
40 E Arbeitsplätze -> FAST
100 Panzer -> passt

Wie man aber rechnerisch auf so eine Lösung kommen kann, weiß ich leider nicht.

28.11.2012, 23:08

Kasen75

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Hallo,

Zu deinem letzten Beitrag.
Wenn es nur fast stimmt, dann stimmt es bei Gleichungen eben nicht. Leider.
Um ein solches Gleichungssystem zu lösen kannst du den Gauß-Algorithmus verwenden oder das Einsetzungsverfahren. Da gibt es ja verschiedene Methoden.

____________________

Eigentlich ist es eine Simplex-Aufgabe:

Zitat:

Saddam H. ist an einer möglichst großen Fördermenge interessiert, muss allerdings auch die folgenden Aspekte zwingend berücksichtigen:

Jedoch würde ich mich einfach daran halten was in a) und b) verlangt wird.

Ich würde einfach für a) ein Gleichungssystem aufstellen und dann eben wegen b) lösen.

Wie sulo und ich schon gesagt haben, kommt auch ein negativer Wert heraus. Die Gleichungen hätte ich (habe ich sogar) genauso wie du aufgestellt:

1*l+2*o+5*s=20
2*l+4*o+8*s=50
7*l+6*o+1*s=100

Grüße.

29.11.2012, 15:33

Urwis!

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So hab ich a) und b) dann auch gelöst. Aufgabe c war es dann noch zu sagen, welche Förderungen die besten wären. Da bin ich rechnereisch leider wie gesagt nicht drauf gekommen und habs einfach mal durch ausprobieren gelöst. Villeicht gibt das ja nen Viertel Punkt :-D

Ansonsten Danke für die Hilfe. Wenn ich die Lösung dann geb ich hier nochmal bescheid in zwei Wochen :-D

29.11.2012, 18:04

RavenOnJ

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Diese Aufgabe ist unglaublich bescheuert und dann noch nicht mal lösbar. Was gibt es demnächst für Aufgaben, Optimierungsprobleme eines Serienkillers o.ä.?

Zitat:

Weiterhin sollen 50000 Arbeitsplätze geschaffen werden.

Dies kann man doch nur so interpretieren, dass es mindestens 50000 sein sollen.

Zitat:

Durch ein Handelsabkommen hat sich Iral zur Abnahme von 100 Pan-
zern verpflichtet.

Hier muss es bedeuten, dass mit dem Öl mindestens 100 Panzer gekauft werden könnten.

Zitat:

Original von Kasen75

Eigentlich ist es eine Simplex-Aufgabe:

1*l+2*o+5*s=20
2*l+4*o+8*s=50
7*l+6*o+1*s=100

Also eigentlich so:

$\begin{eqnarray*} <br /> \end{eqnarray*}<br /> \begin{align}x_L + &2x_O + 5 x_S &\le 20 \\ 2 x_L + &4 x_O + 8 x_S &\ge 50 \\ 7 x_L + &6 x_O + x_S &\ge 100 \\ x_L + &x_O + x_S \small &\text{ maximal}\end{align}<br /> \begin{eqnarray*}<br /> \end{eqnarray*}$

(1) und (2) ergibt:

$\begin{eqnarray*} <br /> \end{eqnarray*}<br /> \begin{align*}2x_L + &4x_O + 10 x_S &\le 40 \\ 2 x_L + &4 x_O + 8 x_S &\ge 50 \end{align*}<br /> \begin{eqnarray*}<br /> \end{eqnarray*}$

Dies ist klar widersprüchlich, also nicht lösbar.

29.11.2012, 18:45

Kasen75

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@RavenOnJ

wenn du mich schon zitierst, dann bitte richtig. So steht es jedenfalls nicht in meinem Beitrag:

Zitat:

Original von Kasen75

Eigentlich ist es eine Simplex-Aufgabe:

1*l+2*o+5*s=20
2*l+4*o+8*s=50
7*l+6*o+1*s=100

Grüße.

29.11.2012, 19:03

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

@Kasen75

verwirrt

Ich habe mit dem "Zitat"-Button gearbeitet und nur was weggelassen. Ich sehe den Unterschied nicht zu deinem Selbstzitat.

Edit:
Ach je, du meinst, dass zwischen dem Satz mit dem Simplex und den Gleichungen noch was fehlt, und dass ich damit dir unterstellen würde, du hättest Quark geschrieben? Sorry, das lag überhaupt nicht in meiner Absicht. Ich habe nur deine Gleichungen als Anhaltspunkt genommen und in Ungleichungen verwandelt, so wie du das ja eigentlich auch getan hättest. Aber im Prinzip hast du recht, falsches Weglassen kann eine Äußerung verdrehen. Tut mir leid.

29.11.2012, 19:14

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

@Kasen75
Also alles nochmal, ich hoffe jetzt zu deiner Zufriedenheit:

Diese Aufgabe ist unglaublich bescheuert und dann noch nicht mal lösbar. Was gibt es demnächst für Aufgaben, Optimierungsprobleme eines Serienkillers o.ä.?

Zitat:

Weiterhin sollen 50000 Arbeitsplätze geschaffen werden.

Dies kann man doch nur so interpretieren, dass es mindestens 50000 sein sollen.

Zitat:

Durch ein Handelsabkommen hat sich Iral zur Abnahme von 100 Pan-
zern verpflichtet.

Hier muss es bedeuten, dass mit dem Öl mindestens 100 Panzer gekauft werden könnten.

Zitat:

Original von Kasen75

Eigentlich ist es eine Simplex-Aufgabe:

Also eigentlich so:

$\begin{eqnarray*} <br /> \end{eqnarray*}<br /> \begin{align}x_L + &2x_O + 5 x_S &\le 20 \\ 2 x_L + &4 x_O + 8 x_S &\ge 50 \\ 7 x_L + &6 x_O + x_S &\ge 100 \\ x_L + &x_O + x_S \small &\text{ maximal}\end{align}<br /> \begin{eqnarray*}<br /> \end{eqnarray*}$

(1) und (2) ergibt:

$\begin{eqnarray*} <br /> \end{eqnarray*}<br /> \begin{align*}2x_L + &4x_O + 10 x_S &\le 40 \\ 2 x_L + &4 x_O + 8 x_S &\ge 50 \end{align*}<br /> \begin{eqnarray*}<br /> \end{eqnarray*}$

Dies ist klar widersprüchlich, also nicht lösbar.

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