Doppel- &Halbwinkelformel zeigen

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ErstsemesterVersager Auf diesen Beitrag antworten »
Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Meine Frage:
Hallo zusammen. Ich bin seit paar Tagen dabei, meine Matheaufgaben zu erledigen. Gelingt soweit auch ganz gut, aber leider hänge ich bei einer Aufgabe fest.
Ich soll folgende Formeln zeigen und komm einfach nicht weiter:
1. cos(2x) = cos²x - sin²(x)

2. sin(2x) = 2sin(x)cos(x)


Meine Ideen:
Bei der ersten Aufgabe versuche ich, den rechten Teil so umzuformen, dass er wie der linke aussieht:



Ich weiß jetzt einfach nicht mehr, wie ich weiter machen soll.. Ein klitzekleiner Denkanstoß würde mir schon reichen unglücklich

Danke im Voraus :]
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Zeige, dass die jeweils rechten Seiten Lösungen der Differenzialgleichung y''+4y=0 mit verschiedenen Anfangswerten y(0),y'(0) sind... Die jeweils linken Seiten sind das aber offensichtlich auch, also braucht man dann nur mehr die Eindeutigkeit der Lösung eines AWP's benutzen... Augenzwinkern
ErstsemesterVersager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Kann ich das nicht durch lustiges Umformen lösen? Denn eigentlich dürfen wir keinen Taschenrechner haben.. Deswegen ist das mit Werten doch etwas schwierig..?
Oder steh ich wiedermal total auf dem Schlauch?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Ein Taschenrerchner kann (normalerweise) auch gar nicht differenzieren... Big Laugh

Also versuch's einfach mal: Was ist die 1. und dann 2. Ableitung von cos(2x)? Dann das Gleiche mit cos²(x)-sin²(x)... Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
entschuldigt meine einmischerei.
wenn dir ein geometrischer beweis genügt



wegen

sin2x geht analog
und schon bin ich wieder weg Augenzwinkern
ErstsemesterVersager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
hmm.. erstmal vielen, vielen Dank für eure Hilfe und dass ihr euch die Zeit nehmt!...
Aber ich werde weder aus dem Bild, noch aus den Ableitungen schlauern :'(
Ich bin echt nicht dumm, aber seit ich auf der Uni bin ist mein Matheverständnis irgendwie kaputt gegangen..


Ableitung von links:
1. -2sin(2x)
2. -4cos(2x)

Ableitungen von rechts:
1. -4cos(x)sin(x)
2. 4sin(x)²-4cos(x)²

Wenn ich die 2. Ableitungen gleichsetze komme ich auf die Anfangsgleichung.. Aber ich kann hier doch nicht weiterdifferenzieren? Oder? >.<

Und im Schaubild darf ich doch eigentlich nicht sin²(x) als Vektorprodukt festlegen???...
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Zitat:
Original von ErstsemesterVersager

Und im Schaubild darf ich doch eigentlich nicht sin²(x) als Vektorprodukt festlegen???...


was soll denn dieser unsinn verwirrt

es gilt doch ganz einfach

verstehst du überhaupt , warum ist verwirrt
ErstsemesterVersager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Zitat:
Original von riwe

verstehst du überhaupt , warum ist verwirrt


Eigentlich schon..: Sin(x) heißt Gegenkathete durch Hypothenuse.. Und x ist in dem Fall der gelbe Winkel unten..
Aber ich verstehe nicht, wie ich auf komme :/
Ich kann mit dem cos² wenig anfangen :/
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Zitat:
Original von ErstsemesterVersager
Zitat:
Original von riwe

verstehst du überhaupt , warum ist verwirrt


Eigentlich schon..: Sin(x) heißt Gegenkathete durch Hypothenuse.. Und x ist in dem Fall der gelbe Winkel unten..
Aber ich verstehe nicht, wie ich auf komme :/
Ich kann mit dem cos² wenig anfangen :/


naja, wenn du eh weißt, wie der (co)siuns definiert ist...

die ankathete ist MA, die hypothenuse c, daher



edit:
am einfachsten wäre doch (in diesem forum), den satz von moivre zu nutzen, oder verwirrt
das wäre dann ein (zw)ei(n)zeiler Augenzwinkern
ErstsemesterVersager Auf diesen Beitrag antworten »

ooohhhhhhhhhhhh...... Die Tomaten, die ich auf den Augen hatte, waren wohl ziemlich riesig...
Danke!! Ich habs verstanden!

Die Aufgabe war ja gar nicht so schwer!

Vielen Danke smile

MfG
Felix smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Zitat:
Original von ErstsemesterVersager
Ableitung von links:
1. -2sin(2x)
2. -4cos(2x)

Ableitungen von rechts:
1. -4cos(x)sin(x)
2. 4sin(x)²-4cos(x)²

Wenn ich die 2. Ableitungen gleichsetze komme ich auf die Anfangsgleichung.. Aber ich kann hier doch nicht weiterdifferenzieren? Oder? >.<

Ich hatte gehofft, dass du das so siehst:



sowie y(0)=1, y'(0)=0, und für y=cos²(x)-sin²(x) genauso... Schade, dass diese einfachen Überlegungen bereits deine Grenzen übersteigen, aber du hast jetzt immerhin schon eine Lösung auf eine andere Art... Wink
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
und 2 fliegen mit einem schlag:

ErstsemesterVersager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Zitat:
Original von Mystic
Schade, dass diese einfachen Überlegungen bereits deine Grenzen übersteigen, aber du hast jetzt immerhin schon eine Lösung auf eine andere Art... Wink


Ich habe schon gesehen, dass sich das aufhebt,
aber in der Vorlesung hieß es, dass ich "mit paar eingesetzen Werten nicht beweisen darf"..., denn die Funktionen "könnten ja nur gleichen Anfang" haben.
Bei trigonometrischen Funktionen ist das zwar sehr unwahrscheinlich (soweit ich weiß sogar unmöglich..?), aber mein Tutor meint, dass wir die Formeln immer durch Umformen oder Induktion zeigen sollen.

Ich hab die jetzt mal alles gezeichnet und eine halbe Seite Erklärung geschrieben.. eigentlich sollte man das doch akzeptieren..?

Wie auch immer, vielen Dank für eure Hilfe smile
... und entschuldigt meine geistige Beschränktheit... Ups
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
na wird hoffentlich nicht (viel) schlimmer sein als z.b. meine Augenzwinkern
hast du dir den weg über moivre angeschaut verwirrt
ErstsemesterVersager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Der hätte mir doch nur geholfen, wenn ich cos(2x) + sin(2x) hätte..? verwirrt
Dieser besagt doch nur, dass ich den gemeinsamen Exponent von sin&cos auch getrennt als Faktor vor das x schreiben darf?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
o lord, hochschule verwirrt
wenn man die linke seite von



ausquadriert, steht da:



der koeffizientenvergleich von real- und imaginärteil schlägt also 2 fliegen mit einer klappe Augenzwinkern
ErstsemesterVersager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Achsoooooo Tanzen
Unglaublich genial! :god

Ich komme mir hier immer mehr vor, wie ein Blinder der sehen lernt smile )
Dankeschön! smile )
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
immerhin warst du so clever, uns deine arbeit machen zu lassen. smile
ErstsemesterVersager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Das war doch gar nicht mein Ziel traurig
Mein eigentliches Problem ist, dass ich seit 1 Monat in Physik & Mathe Aufgaben bekomme, bei denen ich teilweise einfach überhaupt nicht weiß, wie ich sie lösen soll
Normalerweise probier ich solange rum, bis ich die Lösung hab, aber das funktioniert irgendwie nicht mehr und ich versteh nicht wieso.. Mathe war auf dem Gymnasium ein Fach, das meinen Schnitt angehoben hat.. Erstaunt2
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
wenn es ein trost ist:
wenn man ganz unten ist, kann´s nur mehr bergauf gehen.
ich weiß das Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Vielleicht doch noch ein paar Worte zu deinem Einwand:

Zitat:
Original von ErstsemesterVersager
Ich habe schon gesehen, dass sich das aufhebt,
aber in der Vorlesung hieß es, dass ich "mit paar eingesetzen Werten nicht beweisen darf"..., denn die Funktionen "könnten ja nur gleichen Anfang" haben.

Die Differenzialgleichung y''+y=0 hat als allgemeine Lösung



mit allgemeinen reellen Konstanten A und B... Das "Einsetzen", wie du es nennst, hatte nur den Zweck, A und B mit den Werten A=1 und B=0 noch festzulegen...

Da die Lösung von

y''+4y=0, y(0)=1, y'(0)=0

einerseits dann eindeutig bestimmt ist, wir aber andererseits zwei Lösungen, nämlich cos(2x) und cos²(x)-sin²(x) haben, müssen diese dann übereinstimmen... Augenzwinkern
ErstsemesterVersager Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppel- &Halbwinkelformel zeigen
Zitat:
Original von Mystic
..., wir aber andererseits zwei Lösungen,..., haben, müssen diese dann übereinstimmen... Augenzwinkern


Jetzt ergibt das ganze irgendwie mehr Sinn Ups
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