Flächeninhalt einer Funktion mit der x-Achse und Intervall soll minimal sein

28.11.2012, 19:27

xruminationx

Flächeninhalt einer Funktion mit der x-Achse und Intervall soll minimal sein

Hallo, ich habe ein Problem mit einer Aufgabe, die mir heute meine Lehrerin gegeben hat.

Hier die Aufgabe:
Zwischen dem Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{a} x^{3} +a^{2} \end{eqnarray*}$ (a>0) und der x Achse liegt über dem Intervall [0;1] eine Fläche.
a) Fertigen Sie für a=1 eine Skizze an. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche für a=1.
b) Für welchen Wert von a wird der Inhalt der Fläche minimal?

Mit b) habe ich meine Probleme, ich habe mir folgendes gedacht und bitte klärt mich auf, wo mein Fehler liegt, ich habe ihn nämlich leider nicht gefunden.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{1}{a} x^{3} +a^{2} \, dx \end{eqnarray*}$ Ich habe dann die Stammfunkion gebildet.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left [ \frac{1}{4a} x^{4} + a^{2}x \right] _{0}^{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left[\frac{1}{4a}+a^{2}\right] - \left[0\right] \end{eqnarray*}$

Also komme ich auf folgende Formel für den Flächeninhalt:
$\begin{eqnarray*} =a^{2}-\frac{1}{4a} \end{eqnarray*}$

Das leite ich jetzt ab um den Flächeninhalt auszurechnen. Ich komme also auf:
$\begin{eqnarray*} A'=2a \end{eqnarray*}$

Dann müsste für ein Minimum $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ sein. Die ist aber ganz und gar unmöglich, weil a > 0 sein muss.

Muss ich vielleicht zweimal ableiten, weil ich mit der Stammfunktion von f(x) gerechnet habe? Aber dann komme ich auf 2 = 0 und jenes ist genauso Blödsinn.

Ich bedanke mich für eure Hilfe.
Oli

28.11.2012, 19:41

sulo

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RE: Flächeninhalt einer Funktion mit der x Achse und Intverall soll minimal sein
Dein Fehler liegt beim Ableiten von $\begin{eqnarray*} A(a) = a^{2}-\frac{1}{4a} \end{eqnarray*}$

Denke noch mal nach.

Außerdem kann ich nicht ganz nachvollziehen, dass du eine Differenz hast und keine Summe.

smile

28.11.2012, 19:50

xruminationx

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RE: Flächeninhalt einer Funktion mit der x Achse und Intverall soll minimal sein

Zitat:

Original von sulo
Dein Fehler liegt beim Ableiten von $\begin{eqnarray*} A(a) = a^{2}-\frac{1}{4a} \end{eqnarray*}$

Das habe ich schon befürchtet, ich habe mir folgendes gedacht:

Okay, hier kann man ja die Summenregel anwenden, also ich kann jeden Summanden einzeln ableiten.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ ableite kommt $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ heraus.
Und wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4a} \end{eqnarray*}$ ableite, dann bedeutet es doch nichts anderes als $\begin{eqnarray*} 1*4a^{-1} \end{eqnarray*}$ und wenn ich aber jetzt die Potenz um eins erhöhe, dann komme ich doch auf $\begin{eqnarray*} \frac{4}{0} a^{0} \end{eqnarray*}$ . Irgendeine Zahl mit null potenziert ergibt $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} \frac{4}{0} \end{eqnarray*}$ ist nicht lösbar.

Wo liegt mein Problem?
Vielen Danke für die Hilfe.
Oli Wink

PS: Du hast Recht, es muss eine Summe sein. Ein blöder Fehler.

28.11.2012, 19:57

sulo

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RE: Flächeninhalt einer Funktion mit der x Achse und Intverall soll minimal sein
Hmm, du solltest die Potenz beim Ableiten aber nicht erhöhen, sondern um 1 kleiner machen. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4a} \end{eqnarray*}$ ist übrigens $\begin{eqnarray*} (4a)^{-1} \end{eqnarray*}$ , die Klammer muss stehen!

Ich würde daher lieber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}a^{-1} \end{eqnarray*}$ schreiben, dann kommst du nicht in Gefahr, die Potenz bei der 4 mit zu verändern. Augenzwinkern

28.11.2012, 20:16

xruminationx

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Natürlich, du hast Recht. Ich habe jetzt wie folgt weiter gerechnet, ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet.
[attach]26938[/attach]

edit von sulo: Habe die Grafik direkt in den Thread eingefügt und den Link entfernt.

28.11.2012, 20:20

sulo

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Ja, a = 0,5 Freude

28.11.2012, 20:21

xruminationx

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Super, ich danke dir, ohne dich hätte ich das nicht geschafft. smile

Ich wünsche dir noch einen schönen Abend. Wink

28.11.2012, 20:23

sulo

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Danke, dir auch einen schönen Abend. smile

28.11.2012, 21:02

xruminationx

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Hallo, ich muss doch noch mal nachfragen.
Ich habe für $\begin{eqnarray*} a=0,5 \end{eqnarray*}$ heraus bekommen, aber setzte ich dies beispielsweise in $\begin{eqnarray*} A=a^{2}+\frac{1}{4a} \end{eqnarray*}$ ein, so komme ich auf ein Ergebnis von $\begin{eqnarray*} 1,5 \end{eqnarray*}$ Würde man aber $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ einsetzen, so kommt man auf ein Ergebnis von $\begin{eqnarray*} 1,25 \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} 1,25 < 1,5 \end{eqnarray*}$ . Woran liegt das, damit ist mein Ergebnis doch falsch. Da der Flächeninhalt nicht minimal ist.

Liebe Grüße
Oli

28.11.2012, 21:04

xruminationx

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Die zweite Ableitung von A habe ich auch gebildet, es kommt dort 6 heraus, wenn ich 0,5 einsetze. Also ein positiver Wert und damit eigentlich auch ein Minimum. :-(

28.11.2012, 21:28

sulo

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Du solltest in $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (\frac{1}{a} x^{3} +a^{2} \,)dx \end{eqnarray*}$ einsetzen, denke ich.

Dann stimmt auch das Minimum.

smile

28.11.2012, 21:40

xruminationx

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Du hast mal wieder Recht behalten, ich habe mich schon gewundert und mich gefragt ob ich irgendetwas falsch abgeschrieben habe. Aber jetzt geht es. smile

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (2x^{3} +(0,5)^{2} \,)dx = 0,75 \end{eqnarray*}$

Wieder vielen Danke für deine Hilfe und jetzt wünsche ich dir hoffentlich (für heute) das letzte Mal eine angenehmen Abend. Nochmals, vielen Dank! smile

28.11.2012, 21:41

sulo

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Gern geschehen, und wenn noch mehr Fragen kommen, frag ruhig.

Wink

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