Permutation

28.11.2012, 21:05

Cyu

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Permutation

Nabend. Wir haben vor 1-2 Wochen den Begriff der Permutation eingeführt (Vorbereitung der Definition der Determinante). Folgende Aufgabe will ich lösen:

Ich blick noch nicht so ganz durch. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Für sigma^-1 habe ich das hier raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich hoffe es ist richtig traurig

traurig

. Ist das dann die Identität?

für sigma^2012 bräuchte ich einen Tipp Hammer

Hammer

Ich habe schhon mal stehen:

2012= 2*2*503

bzw

2012 mod 503 = 0

Ob mich die Überlegung weiterbringt, ist die andere Frage verwirrt

verwirrt

29.11.2012, 07:14

Christian_P

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$\begin{eqnarray*} \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrabbildung von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ .

Du hast die Abbildungstabelle der identischen Abbildung $\begin{eqnarray*} \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben.

Die Umkehrabbildung ergibt sich eingach, wenn man die Wertetabelle von unten nach oben ließt.

$\begin{eqnarray*} \operatorname{sign}(\sigma) \end{eqnarray*}$ kriegste auch hin.

Was ist $\begin{eqnarray*} \sigma^{2012} \end{eqnarray*}$ ? Ist damit das Produkt, also die 2012 fache Hintereinanderausführung der Abbildung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ gemeint?

Viele Grüße.

29.11.2012, 08:57

HAL 9000

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Permutationen potenziert man am günstigsten in ihrer Zykeldarstellung, diese ist hier offenbar $\begin{eqnarray*} \sigma=(1,2,3,4) \end{eqnarray*}$ . Es ist also $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}(\sigma)=4 \end{eqnarray*}$ , womit die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} \sigma^{4\cdot 503} \end{eqnarray*}$ nicht in übermäßige Rechnerei ausarten sollte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.11.2012, 09:11

Mystic

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Zitat:

Original von HAL 9000
Permutationen potenziert man am günstigsten in ihrer Zykeldarstellung, diese ist hier offenbar $\begin{eqnarray*} \sigma=(1,2,3,4) \end{eqnarray*}$ .

Wobei als Trennzeichen in einem Zyklus üblicherweise Leerstellen statt Beistriche genommen werden... Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.11.2012, 10:59

.cYu

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hi
Sry für meine schreibweise ich wusste nur nicht wie man hier tabellen einfügt über den formeleditor.

Könnt ihr das hier absegnen:
I) (4 1 2 3) für sigma^-1 und (1 2 3 4)=id für sigma^2012 da sigma^4 die id ist und diese operation 503 mal durchgeführt wird
II) ich habe 2 fehlstande gefunden: sign(sigma)=(-1)^2=1
III) bräuchte noch hilfe

29.11.2012, 11:04

.cyu

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sry sind 3 fehlstände. Also ist sign=-1

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29.11.2012, 12:58

Mystic

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ad I) Wie von HAL schon angegeben, ist

$\begin{eqnarray*} \sigma=(1 2 3 4) \end{eqnarray*}$

die Zyklendarstellung deiner Permutation. Zyklen beginnen - das ist eine Konvention - immer mit dem kleinsten Element im Zyklus. Schon von daher will mir deine Lösung

$\begin{eqnarray*} \sigma^{-1}= (4 1 2 3) \end{eqnarray*}$

nicht so recht gefallen. Tut man dieser Konvention Genüge, so würde deine Lösung dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \sigma^{-1}= (1 2 3 4) =\sigma \end{eqnarray*}$

was ja wohl nicht stimmen kann.... Tatsächlich ist das Invertieren eines Zyklus besonders einfach: Einfach mit dem kleinsten Element - hier 1 - beginnend, die Element in (zyklisch!) verkehrter Reihenfolge anschreiben, also

$\begin{eqnarray*} \sigma^{-1}= (1 4 3 2) =\sigma \end{eqnarray*}$

Und ja, die Ordnung eines Zyklus ist einfach seine Länge, die Ordnung eines Produkts elementfremder Zyklen das kgV der einzelnen Zyklenlängen. Damit ist deine Antwort richtig.

ad II) Deine Antwort hier ist falsch, überprüf sie vielleicht nochmals bzw. zähl die Fehlstände einfach alle auf.

ad III) Allgemein in einer Gruppe gilt, wenn x²=a lösbar für ein Element a gerader Ordnung sein soll, so muss x mindestens die doppelte Ordnung von a haben... Geht das hier? verwirrt

verwirrt

29.11.2012, 23:22

.cyu

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RE: Permutation
Ich weiß gar nicht was alle von mir wollen ich habe mich heute auch mal mit 2 Kommilotnen zusammengesetzt... Ich will mit dieser vermutlichen irrtürmlichen Weise nicht auf die Zykelschreibweise hinaus ich weiß nur nicht wie ich eine Tabelle in diesen Thread einbauen soll ... und das habe ich 2 mal gesatz dass das was in den klammern steht, das darstellen soll was dann in der tabelle stehen müsste ....außerdem meintet ihr doch dass ich die Tabelle von unten nach oben lesen soll und das habe ich bei der umkehrabbildung getan.

es wird wohl auch damit gehen:

[attach]26950[/attach]

Ich finde bei der II immernoch 3 Fehlstände. sign(sigma)=(-1)^3=-1

III ich habe das hier im skript gefunden. reicht es nicht darauf zu verweisen? demnach gilt ja dass tau- quadrat gleich identität ist folglich auch ungleich sigma.... :

[attach]26951[/attach]

29.11.2012, 23:53

Mystic

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RE: Permutation
ad I) Ja, die zwei Zeilen der Tabelle vertauschen und danach noch die Spalten nach erstem Spaltenelement neu ordnen geht natürlich auch, wenn man die Zyklenschreibweise nicht verwenden will...

ad II) Sorry, hatte deine Ausbesserung auf 3 Fehlstände übersehen.

ad III) Da gilt immer noch mein Hinweis, dass ein derartiges Element mindestens die Ordnung 8 (=doppelte Ordnung) haben müsste, was ja in $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ nicht geht...

30.11.2012, 11:13

cyu.

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okay... dann ist I) abgehakt und II) auch. Wir haben zwar ein wenig Gruppentheorie gemacht aber von Ordnung von Elementen hab ich nix gehört. Den Hinweis habe ich auch noch nicht wirklich nachvollziehen können .... Ist meine Idee aber so falsch verwirrt

verwirrt

Im Skript steht ja:

[attach]26951[/attach][/quote]

Wenn also \tau^2=id

Dann gilt doch\tau^2=\tau(\tau(\sigma))=id\neq \sigma

oder nicht?

Ich habe übrigens mal meinen Tutor gefragt und dieser meinte man könne die Homomorhismus Eigenschaft von sign ausnutzen.... mehr konnte ich aber auch nicht rausfinden.

30.11.2012, 11:16

Cyu

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Ohhhhhh da haben sich ganz viele Fehler eingeschlichen bitte den Beitrag ignorieren geschockt

geschockt

Hier das Richtige:

Zitat:

Original von cyu.
okay... dann ist I) abgehakt und II) auch. Wir haben zwar ein wenig Gruppentheorie gemacht aber von Ordnung von Elementen hab ich nix gehört. Den Hinweis habe ich auch noch nicht wirklich nachvollziehen können .... Ist meine Idee aber so falsch verwirrt

verwirrt

Im Skript steht ja:

[attach]26951[/attach]

Wenn also $\begin{eqnarray*} \tau^2=id \end{eqnarray*}$

Dann gilt doch $\begin{eqnarray*} \tau^2=\tau(\tau(\sigma))=id\neq \sigma \end{eqnarray*}$

oder nicht?

Ich habe übrigens mal meinen Tutor gefragt und dieser meinte man könne die Homomorhismus Eigenschaft von sign ausnutzen.... mehr konnte ich aber auch nicht rausfinden.

30.11.2012, 11:24

Mystic

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Zitat:

Original von cyu.
Ich habe übrigens mal meinen Tutor gefragt und dieser meinte man könne die Homomorhismus Eigenschaft von sign ausnutzen.... mehr konnte ich aber auch nicht rausfinden.

Ja dein Tutor ist tatsächlich ein "schlaues Kerlchen"... Freude

Freude

Damit geht es natürlich auch, denn wenn man auf

$\begin{eqnarray*} \tau^2 =\sigma \end{eqnarray*}$

beidseitig den Homomorphismus sign anwendet, kommt man auf verschiedene Werte, was beweist, dass es so ein $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ nicht geben kann...

Dein Argument ist dagegen leider nur Unsinn, auf den ich jetzt gar nicht im Detail eingehen möchte... unglücklich

unglücklich

Edit: Was soll übrigens das falsche Bild von $\begin{eqnarray*} \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ unter deinem vorletzen Beitrag? Das war doch schon mal richtiger...

30.11.2012, 12:23

Cyu

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das falsche bild ist totaler schwachsinn Hammer

Hammer

ich hab deinen beitrag beim ersten lesen missverstanden und beim zweiten lesen erst gemerkt, dass du gemeint hast, das meine abbildungstabelle stimmt... ehehe... tschuldige

unsinn produzieren ja das kann ich gut Big Laugh

Big Laugh

wobei mir unklar ist warum meine idee nicht funktioniert den beweis könnte man trotzdem schöner machen... lol.

ich werde es mal mit dem homomorphismus probieren, da ich damit eher was anfangen kann. ich poste später meine lösung.

30.11.2012, 12:31

Mystic

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Zitat:

Original von Cyu
wobei mir unklar ist warum meine idee nicht funktioniert den beweis könnte man trotzdem schöner machen...

Du hast oben versucht zu zeigen, dass eine Transposition niemals Lösung von $\begin{eqnarray*} \tau^2=\sigma \end{eqnarray*}$ sein kann, weil dafür $\begin{eqnarray*} \tau^2=id \ne \sigma \end{eqnarray*}$ gilt ...

Das stimmt, aber was ist damit erreicht? Damit sind ja nur Transpositionen als Lösungen ausgeschlossen... verwirrt

verwirrt

30.11.2012, 13:34

Cyu

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Cyu
wobei mir unklar ist warum meine idee nicht funktioniert den beweis könnte man trotzdem schöner machen...

Du hast oben versucht zu zeigen, dass eine Transposition niemals Lösung von $\begin{eqnarray*} \tau^2=\sigma \end{eqnarray*}$ sein kann, weil dafür $\begin{eqnarray*} \tau^2=id \ne \sigma \end{eqnarray*}$ gilt ...

Das stimmt, aber was ist damit erreicht? Damit sind ja nur Transpositionen als Lösungen ausgeschlossen... verwirrt

verwirrt

Ich dachte es wird nur nach den Transpositionen gefragt....

ich finde es ja immer schön wenn man einen schubs in die richtige richtung bekommt. ich kann das jetzt einfach mal machen... ich muss aber zugeben ich wäre nie drauf gekommen... wie kommt man also darauf? mir ist schon paar mal passiert, dass ich aufgaben richtig hatte weil man mir einfach ne anweisung oder rezept gegeben hat ... und warum funktioniert das? irgendwie scheitert es bei mir an der anschaung...

und ne kleine frage: muss ich jetzt für s_4 alle möglichen Permutationen aufschreiben bzw. für jede eine abbildungstabelle erstellen? Und dann nur die jenigen wo nur eine Transpositon vorgenommen wurde betrachten (also auf homomorhphie überprüfen?

30.11.2012, 17:33

Mystic

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Zitat:

Original von Cyu
ich finde es ja immer schön wenn man einen schubs in die richtige richtung bekommt. ich kann das jetzt einfach mal machen... ich muss aber zugeben ich wäre nie drauf gekommen... wie kommt man also darauf? mir ist schon paar mal passiert, dass ich aufgaben richtig hatte weil man mir einfach ne anweisung oder rezept gegeben hat ... und warum funktioniert das? irgendwie scheitert es bei mir an der anschaung...

Ist nur ein Übungssache... Klingt blöd, ich weiß, ist aber so... Irgendjemand hat mal gesagt, die Dinge in der Mathematik sind subjektiv gesehen nicht leicht oder schwierig, sondern in Wahrheit vertraut bzw. weniger vertraut... Wenn du genügend lange mit Permutationen arbeitest, kommt dir nach einiger Zeit alles vertraut, d.h., leicht vor... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Cyu
und ne kleine frage: muss ich jetzt für s_4 alle möglichen Permutationen aufschreiben bzw. für jede eine abbildungstabelle erstellen? Und dann nur die jenigen wo nur eine Transpositon vorgenommen wurde betrachten (also auf homomorhphie überprüfen?

Mir ist leider überhaupt nicht klar, auf welche Aufgabe du dich da beziehst... verwirrt

verwirrt

30.11.2012, 17:57

ollie3

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hallo mystic und cyu,
mir ist schon klar, dass cyu immer noch probleme mit aufgabe (iii) hat, er glaubt,
man müsste jetzt sämtliche elemente von S_4 auflisten (das sind ja 24) und
von jedem einzelnen das quadrat berechnen und sehen, ob es mit dem
vorgegebenen sigma übereinstimmt.
Warum sich das leben so schwer machen, wir haben doch schon festgestellt,
das sigma eine ungerade permutation ist und tau^2 nur gerade sein kann...
gruss ollie3

01.12.2012, 22:52

.cyu

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hi
Dein ansatz ist jetzt aber was ganz andres oder? Ich konnte es nicht mit dem homomorphismusansatz in verbindung bringen... Mit ungerade meinst du sign(sigma)=-1 oder? Die ausdrucksweise hatten wir nicht...
Man kann also stattdessen sagen
1) sigma ist eine ungerade permutation (da sign(sigma)=-1)
2) tau^2 ist eine gerade permuation (da sign(tau^2)=sign(id)=(-1)^0=1)

Und dann hat man den widerspruch da 1 ungleich -1?

02.12.2012, 12:25

Mystic

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Zitat:

Original von .cyu
2) tau^2 ist eine gerade permuation (da sign(tau^2)=sign(id)=(-1)^0=1)

Du hast dich in die Vorstellung verbissen, dass $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ eine Transposition sein muss, d.h., dass gilt $\begin{eqnarray*} \tau^2=id \end{eqnarray*}$ ... Das ist aber nicht der Fall! Noch einmal also: $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist hier eine beliebige Permutation in $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ , für die nur $\begin{eqnarray*} \tau^2=\sigma \end{eqnarray*}$ angenommen wird...

02.12.2012, 15:33

.Cyu

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entschuldige mich hat der beitrag von vorhin verwirrt... andererseits... aber wenn doch im skript überall steht dass tau eine transposition ist....

[attach]27005[/attach]

Ich habe bislang nur das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} \nexists \tau \in S_4 : \tau^2=\sigma \end{eqnarray*}$

Beweis:

Ang., $\begin{eqnarray*} \exists \tau \in S_4 \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \tau^2=\sigma \end{eqnarray*}$

Dann gilt für $\begin{eqnarray*} \sigma_1, \sigma_2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} sign(\sigma_1 \cdot \sigma_2)=sign(\sigma_1 )\cdot sign(\sigma_1 ) \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 15:58

ollie3

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hallo cyu,
du denkst hier leider falsch herum, dann mache ich dir das nochmal klar.
Also, angenommen es gibt ein $\begin{eqnarray*} \tau \in S_4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau^2=\sigma \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt $\begin{eqnarray*} sign(\tau^2)=sign(\tau) \cdot sign(\tau)=1 \end{eqnarray*}$ , denn
signum kann ja nur den wert 1 oder -1 annehmen, in beiden fällen ist
das quadrat gleich 1, und das steht im widerspruch zu sign(sigma)=-1, wie
es hier vorgegeben war.
gruss ollie3

02.12.2012, 17:41

.cyu

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Zitat:

Original von ollie3
hallo cyu,
du denkst hier leider falsch herum, dann mache ich dir das nochmal klar.
Also, angenommen es gibt ein $\begin{eqnarray*} \tau \in S_4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau^2=\sigma \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt $\begin{eqnarray*} sign(\tau^2)=sign(\tau) \cdot sign(\tau)=1 \end{eqnarray*}$ , denn
signum kann ja nur den wert 1 oder -1 annehmen, in beiden fällen ist
das quadrat gleich 1, und das steht im widerspruch zu sign(sigma)=-1, wie
es hier vorgegeben war.
gruss ollie3

Hi Olli3, danke dass du mir einen kompletten Beweis lieferst Augenzwinkern

Augenzwinkern

(ich gehe davon aus dass die aufgabe damit getan ist) Darf ich aber ohne weiteres $\begin{eqnarray*} sign(\tau^2)=sign(\tau) \cdot sign(\tau) \end{eqnarray*}$ annehmen? Oder muss ich das beweisen?

Ansonsten habe ich mich bis eben an meinem Gruppenhomorphismus-Beweis aufgehalten schäme mich aber fast schon das Ergebnis zu veröffentlichen, da ich nach so vielen Anläufen nur Müll produziert habe ... und da es offensichtlich auch so einfach geht wie du es gezeigt hast... . Ich wäre dankbar, wenn du mir noch kurz verraten könntest, ob ich mit deinem Beweis die Aufgabe fertig hätte ... Wink

Wink

Liebe Grüße

Cyu
/B.A.

03.12.2012, 07:51

ollie3

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hallo cyu,
ja, das mit dem signum gilt immer (weil homorphismus) und der beweis ist tatsächlich fertig,
man kann ihn also in einer zeile hinschreiben. smile

smile

gruss ollie3

03.12.2012, 09:37

RavenOnJ

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RE: Permutation

Zitat:

Original von .cyu
... ich weiß nur nicht wie ich eine Tabelle in diesen Thread einbauen soll ...

[attach]26950[/attach]

so geht's:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline k&1&2&3&4\\ \hline \sigma^{-1}&4&1&2&3\\ \hline\end{array}<br /> \end{eqnarray*}$

.. und jetzt kannst du dir mit dem "zitat"-Button den Code angucken.

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