Fast sichere Konvergenz von ZV

28.11.2012, 21:20	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast sichere Konvergenz von ZV Hallo, folgende Frage: $\begin{eqnarray} (X_n) \end{eqnarray}$ sei Folge unabhängiger exponentalverteilter Zufallsvariablen mit Parameter $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , i.e. für $\begin{eqnarray} s \geq 0, P(X_n > s) = ae^{-as} \end{eqnarray}$ . Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \limsup \frac{X_n}{ln(n)} = \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ fast sicher. Mein Ansatz: es reicht zu zeigen für alle $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum P(\|\frac{X_n}{ln(n)} - \frac{1}{a}\| > \epsilon) < \infty \end{eqnarray}$ Wenn ich wüsste, dass $\begin{eqnarray} \frac{X_n}{ln(n)} > \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ für jedes n, dann ginge das auch schön durch, aber irgendwie geht $\begin{eqnarray} \frac{X_n}{ln(n)} \end{eqnarray}$ doch gefühlt gegen 0. Mich verstört auch ein bisschen der limes superior statt dem limes. Wo genau kann das einen Unterschied machen? Kann man vielleicht die Unabhängigkeit ausnutzen, um zu zeigen, dass es für alle n schon ein m>n gibt mit $\begin{eqnarray} \frac{X_m}{ln(m)} > \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ ? Aber wenn ja, wie? Ich bin leider nicht so fit mit den ganzen Definitionen, weil wenig Zeit für die WTheo-Vorlesung. lg EDIT: Neuer Ansatz: mit dem zweiten Borel-Cantelli Lemma kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray} P(X_n > ln(n)/a)=1 \end{eqnarray}$ für unendlich viele n, also $\begin{eqnarray} sup_{n \geq m} \frac{X_n}{ln(n)} > \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , und dann geht die Rechnung oben durch.

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