Abschätzung mit Binomialentwicklung

28.11.2012, 22:29	Verdruss	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung mit Binomialentwicklung Hallo! Ich sitze gerade vor folgender Aufgabe: Betrachte die Folge $\begin{eqnarray} \left\{ a_{n} \right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{n}=(1+\frac{1}{n} )^{n} \end{eqnarray}$ Benutzen sie die Binomialentwiclung, um die Abschätzung $\begin{eqnarray} a_{n}\leq 3 \end{eqnarray}$ zu beweisen. Mein Problem ist, ich weiß überhaupt nicht, wie ich das schaffen soll. Ich bin bis $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=0}^n \frac{n!}{j!(n-j)!n^{j} } \leq 3 \end{eqnarray}$ gekommen, weiß aber nicht, wie ich das nun abschätzen soll... Kann mir jemand helfen? Verdruss
28.11.2012, 23:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft dir das hier weiter.
29.11.2012, 02:52	Verdruss	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ich hab jetzt einiges durchprobiert, aber ehrlich gesagt hilft mir das nicht wirklich weiter, nein Ich geschaut, ob man da was mit vollständiger Induktion machen kann, bin da aber auch zu keinem gewünschten Ergebnis gekommen. Und deine Summenumschreibung versteh ich nicht mal
29.11.2012, 08:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das so ist, dann kann ich dir leider nicht weiterhelfen, das ist der einzige Weg, der mir zu der Vorgabe "Binomischer Satz" einfällt. Ich kenne zwar noch einen anderen Weg, wo man unter Nutzung der Bernoullischen Ungleichung zeigt, dass die Folge $\begin{eqnarray} b_n = \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n+1} \end{eqnarray}$ monoton fallend ist, aber der kommt ja für dich anscheinend auch nicht in Frage. Nun, dann musst du eben mit deiner gehobenen Anspruchshaltung was anderes finden.
29.11.2012, 09:46	Verdruss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich musste nur den Beweis erbringen, dass die Folge monoton steigend ist, das ging auch. Und ich möchte ja gerne keine Ansprüche stellen, nur weiß ich nicht genau, was du in dem anderen Thread meinst. Auf unserem Zettel ist für die Binomialentwicklung die andere Formel gegeben, als die, die du benutzt. Mein größtes Problem ist halt: Ich weiß nicht, wie ich von etwas so großem wie der Binomialenwicklung einfach nur abschätzen soll, dass sie kleiner als 3 ist, wenn x=1/n gilt.
29.11.2012, 10:28	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
im ersten Beitrag hast du geschrieben, dass du $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{j=0}^n \frac{n!}{j!(n-j)!n^{j} } \end{eqnarray}$ berechnet hast, oder? Wie im anderen Thread, auf den HAL 9000 verwiesen hat, gelangt man dann zu $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{j=0}^n \left[\frac{1}{j!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots \left(1-\frac{j-1}{n}\right)\right] \end{eqnarray}$ (kürzen mit $\begin{eqnarray} (n-j)! \end{eqnarray}$ , dann bleiben noch $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ Faktoren im Zähler, von denen jeder durch $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ dividiert wird). Wie kann man nun die Faktoren $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{n},\dots,1-\frac{j-1}{n} \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen?
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29.11.2012, 19:13	Verdruss	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, das bisschen hat gefehlt Ich habe vor allem die Umformung nicht verstanden, danke für die Erklärung. Also dann, danke für die Hilfe und einen schönen Abend euch noch Verdruss

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