Symmetrische Gruppe S4

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MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppe S4
Meine Frage:
Sei die Symmetrische Gruppe der Ordnung 4. Geben Sie zwei Untergruppen der Ordnung 4 an, die nicht zueinander konjugiert sind. In anderen Worten: Finden Sie , so dass kein existiert mit .



Meine Ideen:
Es gibt ja 7 Untergruppen der Ordnung 4 von G. Davon sind 4 nicht zyklisch und 3 sind zyklisch.

Nun habe ich aber in jeder Untergruppe eines der Elemente:



Wenn ich diese nun mit den verschiedenen zwei Zykeln auf die Gruppenoperation los lasse, bekomme ich wieder diese Elemente. Sprich ich finde obige Gruppen nicht und bin ratlos.
Z.b.:



Gibt es solch eine Untergruppe überhaupt und wenn ja welche ? Und warum ? Es wird ja einen eleganteren Weg geben das herauszufinden, als alle Möglichkeiten auszuprobieren.

Vielen Dank im Voraus
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.google.de/imgres?imgurl=http:...9QEwBg&dur=4419
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Also der link hilft mir nicht wirklich weiter verwirrt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Gruppe S4
Zitat:
Original von MatheMathosi
Es gibt ja 7 Untergruppen der Ordnung 4 von G. Davon sind 4 nicht zyklisch und 3 sind zyklisch.

Ich versteh nur Bahnhof bei dem was du schreibst... Das beginnt schon mit diesem allerersten Satz... Man braucht doch einen Zyklus der Länge 4 um eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4 zu erzeugen und davon gibt es doch nur ganze 6 Stück... Je zwei liegen aber in der gleichen Untergruppe, z.B.



Des weiteren ist auch



eine (nichtzyklische) Untergruppe der Ordnung 4...

Wie du daher auf obige Zahlen kommst ist mir also sowas von schleierhaft... verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@MatheMatosi

Wieso hilft der Link nicht ? Da steht doch, dass es C4 und D2 in S4 gibt. Die sind nicht isomorph, also schon gar nicht konjugiert.
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic

Erstmal zur Notation:

Mit Ordnung 4 einer Untergruppe meine ich die Anzahl der Elemente in der Untergruppe. Nicht aber die Länge des Zykel der sie erzeugt.
Ist das hier so gefragt oder interpretiere ich die Aufgabe hier falsch ?


@Elvis

Zitat:
Da steht doch, dass es C4 und D2 in S4 gibt. Die sind nicht isomorph, also schon gar nicht konjugiert.


Da stehen die verschiedenen Untergruppen von S4, ich sehe aber nicht wie ich damit die obige Frage beantworten kann.

Außerdem wäre es hilfreich meinen evtl. Denkfehler in meinem Ansatz zu beseitigen.

Danke euch
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMathosi
@Mystic

Erstmal zur Notation:

Mit Ordnung 4 einer Untergruppe meine ich die Anzahl der Elemente in der Untergruppe. Nicht aber die Länge des Zykel der sie erzeugt.

Eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4 muss von einem Zyklus der Länge 4 erzeugt werden, anders geht das nicht.. Bitte mach dir diesen elementaren Sachverhalt erst einmal klar...

Zitat:
Original von MatheMathosi
Außerdem wäre es hilfreich meinen evtl. Denkfehler in meinem Ansatz zu beseitigen.

Ich hätte ja gern was dazu gesagt, aber nach dem richtigen Anfang, dass nämlich eine der drei Permutationen (12)(34),(13)(24),(14)(23) in jeder Untergruppe der Ordnung 4 liegen muss, ist der Rest dann so wirr und unverständlich, dass ich aufgegeben habe... unglücklich
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4 muss von einem Zyklus der Länge 4 erzeugt werden, anders geht das nicht.. Bitte mach dir diesen elementaren Sachverhalt erst einmal klar...


Ok ist mir klar smile

Ich habe also folgende zyklische Untergruppen der Ordnung 4:



die einzige nicht zyklische Untergruppe der Ordnung 4 ist dann



Ist das soweit nun richtig ?

Welche Ordnung hat denn die Untergruppe



?

Bisher hatte ich gedacht auch 4, da hier ja vier Elemente enthalten sind.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist nun richtig und auch das, was ich oben schon geschrieben hatte, nämlich dass sich die 6 Zyklen der Länge 4 auf die 3 zyklischen Untergruppen der Ordnung 4 aufteilen und es darüberhinaus noch genau eine nichtzyklische Untergruppe der Ordnung 4 gibt...

Interessant wäre nun nur noch, ob du in der Zwischenzeit selbst deinen Denkfehler oben herausgefunden hast... Big Laugh
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Interessant wäre nun nur noch, ob du in der Zwischenzeit selbst deinen Denkfehler oben herausgefunden hast... Big Laugh


klares nein !


Ich muss doch zwei Untergruppen finden für die das hier



nicht gilt für alle .

Wenn ich mir nun aus das Element (14)(23) herausnehme und obige Gruppenoperation mit dem Element g=(12) ausführe bekomme ich den Zykel (13)(24). (Wie schon in meinem ersten Beitrag geschrieben).
Für g=(13) den Zykel (12)(34) und für g=(14) den Zykel (14)(23).
Und das ist bei den anderen Untergruppen genauso. D.h. ich finde keine 2 Untergruppen für die nicht gilt verwirrt
Verstehst du mein Problem ?

Und kannst du mir noch meine Frage beantworten
Zitat:
Welche Ordnung hat denn die Untergruppe ? Bisher hatte ich gedacht auch 4, da hier ja vier Elemente enthalten sind.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMathosi
Und das ist bei den anderen Untergruppen genauso. D.h. ich finde keine 2 Untergruppen für die nicht gilt verwirrt
Verstehst du mein Problem ?

Leider nein... Deine Prämissen stimmen alle, aber ich kann daraus deinen Schluss nicht ziehen... Glaubst du am Ende, dass nichtkonjugierte Untergruppe keine gemeinsamen Elemente (außer id) haben dürfen? und sind z.B. nicht konjugiert, da nicht isomorph, haben aber (13)(24) gemeinsam...

Zitat:
Original von MatheMathosi
Und kannst du mir noch meine Frage beantworten
Zitat:
Welche Ordnung hat denn die Untergruppe ? Bisher hatte ich gedacht auch 4, da hier ja vier Elemente enthalten sind.

Ja, das stimmt, da hab ich einen Riesenbock geschossen, sorry... Bin wohl schon zu lange in diesem Forum unterwegs... unglücklich
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Glaubst du am Ende, dass nichtkonjugierte Untergruppe keine gemeinsamen Elemente (außer id) haben dürfen? und sind z.B. nicht konjugiert


Nun ja, es darf ja



nicht gelten, (gilt lt. deiner Aussage auch nicht ) aber




Zitat:
Ja, das stimmt, da hab ich einen Riesenbock geschossen, sorry... Bin wohl schon zu lange in diesem Forum unterwegs... unglücklich


d.h. die Aussage
Zitat:
Es gibt ja 7 Untergruppen der Ordnung 4 von G. Davon sind 4 nicht zyklisch und 3 sind zyklisch.


stimmt soweit ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMathosi
Nun ja, es darf ja



nicht gelten, (gilt lt. deiner Aussage auch nicht ) aber


Warum rechnest du mit g=(12) nicht einmal ganz aus??? Dann würdest du deinen Irrtum sofort erkennen, denn es ist



also nicht ...

Und ja, deine anfängliche Aussage betreffend die Anzahl der Untergruppen stimmt so...
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe es einfach nicht. Wie meinst du ganz ausrechnen. Ich habe es doch für ein Element ausgerechnet. Wie rechne ich es denn ganz aus ???
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »



MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich denke jetzt hab ichs.

Also



Aber wie ist dann die Aufgabe zu verstehen. Es darf ja kein solches g existieren. Muss ich jetzt alle Elemente mit allen Untergruppen so ausrechnen, um 2 Untergruppen zu finden ?
Oder kann man das auch anders einsehen ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMathosi
Aber wie ist dann die Aufgabe zu verstehen. Es darf ja kein solches g existieren. Muss ich jetzt alle Elemente mit allen Untergruppen so ausrechnen, um 2 Untergruppen zu finden ?
Oder kann man das auch anders einsehen ?

Mann, oh Mann, das ist so unendlich mühsam hier, da doch alles schon gesagt wurde, nämlich: Zwei konjugierte Untergruppen sind isomorph, und sind nicht isomorph und daher auch nicht konjugiert... Ich hatte vorhin - fälschlich wie sich jetzt herausstellt - den Eindruck, diesen Punkt hast du schon verstanden... unglücklich
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mann, oh Mann, das ist so unendlich mühsam hier,


korriegiere mich wenn ich falsch liege, aber du hast eben mit deinem

Zitat:
da hab ich einen Riesenbock geschossen, sorry.


auch zur Verwirrung beigetragen. Da musst du jetzt durch. Nichts für ungut, your Willkommen

Das heisst also insgesamt:



für entsprechende g,g',h in G. Und es existiert kein g'',h',h'' in G mit



Da es keinen Isomorphismus gibt, der einen 4 Zykel (abcd) auf einen Zykel der Form (ab)(cd) abbildet.

Ist das nun so stimmig ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMathosi
Da es keinen Isomorphismus gibt, der einen 4 Zykel (abcd) auf einen Zykel der Form (ab)(cd) abbildet.

Ist das nun so stimmig ?

Ist es natürlich nicht... Isomorphismen kann es nur zwischen Untergruppen der geben, nicht zwischen einzelnen Elementen der ... geschockt

Und was Riesenböcke betrifft, so bin ich der Letzte, der jemanden einen Strick daraus dreht, solange es eine Ausnahme bleibt... Big Laugh
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja schon klar aber du weisst doch wie ich meine oder nicht ? smile

Ich will damit sagen, dass kein Isomorphismus



existiert, da wir zwar



Aber die 4 Zykel nicht auf die beiden zwei 2 Zykel abbilden können.

Kann icdh so argumentieren, oder wie würdest du hier argumentieren ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen, dass zyklisch ist, d.h., ein Element der Ordnung 4 besitzt, dagegen nicht... Daher können die beiden Gruppen nicht isomorph sein...

Übrigens ist Isomorphie umgekehrt zu schwach, um Konjugiertheit folgern zu können, denn und *) sind isomorph aber nicht konjugiert...

*) ist dabei irgendeine der von mir ursprünglich "vergessenen" Untergruppen der Ordnung 4...
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. verwirrt

Und was geht schief, wenn ich ein Element der Ordnung 4 (also einen 4 Zykel), auf einen Zykel der Form (ab)(cd) abbilde ?

Kann ich mir das nicht einfach so definieren ?

Und warum gibt es dann einen Isomorphismus zwischen
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMathosi
Und was geht schief, wenn ich ein Element der Ordnung 4 (also einen 4 Zykel), auf einen Zykel der Form (ab)(cd) abbilde ?

Ich habe ja auch nicht gesagt, dass dein Argument falsch ist - wir meinen wohl beide dasselbe - ich würde es halt anders ausdrücken... Augenzwinkern

Zitat:
Original von MatheMathosi
Und warum gibt es dann einen Isomorphismus zwischen

Es gibt bis auf Isomorphie nur eine nichtzyklische Gruppe mit 4 Elementen, die sog. Kleinsche Vierergruppe... Du kannst den Isomorphismus hier übrigens sogar beliebig definieren, solange er nur bijektiv ist und id auf id abbildet...
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es gibt bis auf Isomorphie nur eine nichtzyklische Gruppe mit 4 Elementen, die sog. Kleinsche Vierergruppe... Du kannst den Isomorphie hier übrigens sogar beliebig definieren, solange er nur id auf id abbildet...


Ja aber

Zitat:
Und was geht schief, wenn ich ein Element der Ordnung 4 (also einen 4 Zykel), auf einen Zykel der Form (ab)(cd) abbilde ?


Zitat:
Ich habe ja auch nicht gesagt, dass dein Argument falsch ist


Ja ich weiss, aber warum gibt es einen solchen Isomorphismus nicht ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMathosi
Ja ich weiss, aber warum gibt es einen solchen Isomorphismus nicht ?

Wenn ich eine Element a der Ordnung 4 in einer Gruppe habe, heißt das, dass die Potenzen



alle verschieden sind... Ist nun b=f(a) das Bild von a unter einem Isomorphismus f, so müssen dann auch



alle verschieden sein, wegen der Injektivität von f...
MatheMathosi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok super ! Jetzt ist alles klar Freude

Vielen Dank für deine Hilfe
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