Rand von Q in R bestimmen

29.11.2012, 00:02	x_Luna_x	Auf diesen Beitrag antworten »
Rand von Q in R bestimmen Meine Frage: Hallo =) Ich stehe vor einem (glaube ich) eher simplen Problem. Ich soll den Rand von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ bestimmen. Meine Ideen: Meine Ideen bisher: Der Rand sind alle Punkte für die in der Umgebung $\begin{eqnarray} (U_{r}(q)\in \mathbb R) \end{eqnarray}$ mind. ein Element aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ und eines aus $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ existiert. Ich habe mal eine Fallunterscheidung gemacht, da in der Aufgabenstellung nicht definiert ist welcher Menge r angehört. Das wäre also schon mal meine erste Frage: Geht man bei einer solchen Fragestellung generel davon aus, dass r einer bestimmten Menge angehört? Meine erste Idee war für r $\begin{eqnarray} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ , dass ich beweise, dass in jeder r-Umgebung sowohl ein Element aus R und eines aus Q existiert, also dass alle rationalen Zahlen Randpunkte sind. Ich wollte den Beweis per Widerspruch führen und habe angenommen, dass es min. ein q $\begin{eqnarray} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ gibt in desen r-Umgebung kein p $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ existiert. Und genau hier bin ich nicht weiter gekommen, weil ich es nicht geschafft habe die Annahme eindeutig zu einem Widerspruch zu führen. War meine Idee von vornehinein falsch? Und müsste ich den Beweis mit r $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ führen? Daraus würde doch dann folgen, dass jeder Punkt in Q ein isolierter Punkt ist? Vielen Dank schon mal für die Antwort Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
29.11.2012, 12:26	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagen wir mal, du betrachtest eine Zahl $\begin{align} q\in\mathbb Q \end{align}$ . Du kannst zu jedem $\begin{align} \epsilon \end{align}$ eine Zahl $\begin{align} \delta \end{align}$ aus $\begin{align} \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{align}$ konstruieren mit $\begin{align} 0<\delta<\epsilon \end{align}$ . Es ist also $\begin{align} q+\delta\in U_\epsilon(q) \end{align}$ . Sei $\begin{align} 0<2^{-n} < \epsilon \end{align}$ . Die Zahl $\begin{align} 2^{-n} \end{align}$ existiert mit Sicherheit. Nimm nun die Zahl $\begin{align} r \end{align}$ mit $\begin{eqnarray} 0<r = 2^{-n} \sum_{k=0}^{\infty}2^{-2^k}<2^{-n} <\epsilon \end{eqnarray}$ Jetzt musst du nur zeigen, dass $\begin{align} r \end{align}$ nicht periodisch ist und deshalb $\begin{align} r\not\in \mathbb Q \end{align}$ .

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