Homom. und Matrizen

29.11.2012, 11:45	Sanguinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Homom. und Matrizen Habe hier ein Aufgabe bei der ich meinen Fehler nicht finde. $\begin{eqnarray} f: K -> M_2(K) \end{eqnarray}$ ist def. durch: $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ z.z: $\begin{eqnarray} f(x+y) = f(x)f(y) \end{eqnarray}$ für alle x,y aus K $\begin{eqnarray} f(\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ) = f( \begin{pmatrix} 1+1 & x+y\\ 0+0 & 1+1\end{pmatrix}) = f( \begin{pmatrix} 2 & x+y\\ 0 & 2\end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f( \begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 1\end{pmatrix} ) f(\begin{pmatrix} 1 & y\\ 0 & 1\end{pmatrix} ) = f ( \begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & y\\ 0 & 1\end{pmatrix} ) = f( \begin{pmatrix} 11+x0 & 1y+x1\\ 01+10 & 0y+11\end{pmatrix}) =f( \begin{pmatrix} 1 & x+y\\ 0 & 1\end{pmatrix}) \neq f( \begin{pmatrix} 2 & x+y\\ 0 & 2\end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Übersehe ich irgendeinen Satz, den man hier anwenden muss
29.11.2012, 11:56	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Funktion f bildet vom Körper in die 2x2 Matrizen ab. Das heißt der Ausdruck $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist schonmal nicht definiert. Die Funktion nimmt als Argument eine Zahl aus dem Körper K und bildet diese auf eine 2x2 Matrix ab.
29.11.2012, 12:10	Sanguinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} f(x+y) = f(\begin{pmatrix} 1 & x+y \\ 0 & 1\end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} f: K -> M_2(K) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x,y \|-> \begin{pmatrix} 1 & x+y\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ abgebildet wird. Und das ist dann gleich f(x)f(y) wie ich es in der 2. Zeile des ersten Beitrages gerechnet habe?!
29.11.2012, 12:13	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibs am besten nochmal neu. Dein gesamter erster Post strotzt ja nur so vor undefinierten Ausdrücken. Aber das hier $\begin{eqnarray} f(x+y) = f(\begin{pmatrix} 1 & x+y \\ 0 & 1\end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ , ist schonmal korrekt. edit: Nein obiger Ausdruck ist auch falsch, richtig wäre $\begin{eqnarray} f(x+y) = \begin{pmatrix} 1 & x+y \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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